题目

用公式 dfrac (mu EPmu )(mu uT)=d 测量某圆柱体铝的密度，测得直径 dfrac (mu EPmu )(mu uT)=d ，高 dfrac (mu EPmu )(mu uT)=d，质量 dfrac (mu EPmu )(mu uT)=d。 计算铝的密度 dfrac (mu EPmu )(mu uT)=d， 并以测量结果表达式表示之。

用公式  测量某圆柱体铝的密度，测得直径  ，高 ，质量 。 计算铝的密度 ， 并以测量结果表达式表示之。

题目解答

答案

根据给定的公式 ，我们可以计算铝的密度，如下所示：

接下来，我们需要计算测量结果的标准差  。的测量误差均为正态分布且相互独立，因此可以使用误差传递公式计算 ，如下所示：

其中，，， 分别是  的标准差。根据误差传递公式，我们需要计算 的偏导数，如下所示：

将上述结果代入误差传递公式中，我们可以计算出 的值，如下所示：

因此，铝的密度为 。

解析

步骤 1：计算铝的密度
根据给定的公式 $\rho =\dfrac {4m}{\pi {d}^{2}h}$，我们可以计算铝的密度，如下所示：
$=\dfrac {4m}{\pi {d}^{2}h}=\dfrac {4\times 36.488g}{\pi \times {(2.042cm)}^{2}\times 4.126cm}$$=2.720g/{cm}^{3}$
步骤 2：计算测量结果的标准差
由于m、d和h的测量误差均为正态分布且相互独立，因此可以使用误差传递公式计算 ，如下所示：
${v}_{p}=\sqrt {{(\dfrac {\partial p}{\partial m}{c}_{m})}^{2}+{(\dfrac {\partial p}{\partial d}{v}_{A})}^{2}+{(\dfrac {\partial p}{\partial h}{c}_{n}})}^{2}$
其中，${T}_{m}=0.006g$，d=0.003cm，${T}_{h}=0.004cm$ 分别是 $m$.、d和h 的标准差。根据误差传递公式，我们需要计算对m、d和h 的偏导数，如下所示：
$\dfrac {\partial p}{\partial m}=\dfrac {4}{\pi {d}^{2}h}=0.778{g}^{-1}{cm}^{-1}$
$\dfrac {\partial \rho }{\partial d}=\dfrac {-8m}{\pi {d}^{3}h}=-3.786\times {10}^{-3}{g}^{-1}{cm}^{-2}$
$\dfrac {\partial \rho }{\partial h}=\dfrac {-4m}{\pi {d}^{2}{h}^{2}}=-0.444{g}^{-1}{cm}^{-1}$
将上述结果代入误差传递公式中，我们可以计算出 的值，如下所示：
${v}_{p}=\sqrt {{(\dfrac {\partial p}{\partial m}{c}_{m})}^{2}+{(\dfrac {\partial p}{\partial d}{v}_{A})}^{2}+{(\dfrac {\partial p}{\partial h}{c}_{n}})}^{2}$
$=\sqrt {{(0.778\times 0.006)}^{2}+{(-3.786\times {10}^{-3}\times 0.003)}^{2}}$
$+{(-0.444\times 0.004)}^{2}$
$=0.039g/{cm}^{3}$
步骤 3：以测量结果表达式表示之
将计算出的密度和标准差代入测量结果表达式中，如下所示：
$2.720\pm 0.039g/{cm}^{3}$