设袋中有 m + n 只乒乓球，其中 m 只 黄球， n 只 白球，现从中依次不放回地任取两个则 ( A ) 第一次取黄球的概率等于第二次取黄球的 概率 ( B ) 第一次取黄球的概率大于第二次取黄球的 概率 ( C ) 第一次取黄球的概率小于第二次取黄球的 概率 ( D ) 第一次取黄球的概率与第二次取黄球的概率的大小关系与 m 和 n 的取值有关

考查要点：本题主要考查不放回抽样中事件概率的计算，以及条件概率的应用。关键在于理解两次抽取的独立性以及总概率的计算方法。

解题核心思路：

1. 第一次取黄球的概率直接由黄球数量与总球数的比值确定。
2. 第二次取黄球的概率需要分两种情况讨论：第一次取到白球或黄球，再通过全概率公式计算总概率。
3. 通过代数化简，发现两次概率相等，与球的总数无关。

破题关键点：

• 不放回抽样的对称性：虽然每次抽取后总数减少，但黄球与白球的比例在整体上保持某种对称关系。
• 全概率公式的应用：将第二次取黄球的概率拆解为两种互斥情况的加权和。

第一次取黄球的概率

袋中共有 $m+n$ 个球，其中黄球 $m$ 个，因此第一次取黄球的概率为：
$P(\text{第一次黄球}) = \frac{m}{m+n}$

第二次取黄球的概率

第二次取黄球的情况有两种：

1. 第一次取白球，第二次取黄球：

   • 第一次取白球的概率为 $\frac{n}{m+n}$。
   • 此时剩余 $m$ 个黄球和 $n-1$ 个白球，总球数为 $m+n-1$，第二次取黄球的概率为 $\frac{m}{m+n-1}$。
   • 联合概率为 $\frac{n}{m+n} \cdot \frac{m}{m+n-1}$。

2. 第一次取黄球，第二次取黄球：

   • 第一次取黄球的概率为 $\frac{m}{m+n}$。
   • 此时剩余 $m-1$ 个黄球和 $n$ 个白球，总球数为 $m+n-1$，第二次取黄球的概率为 $\frac{m-1}{m+n-1}$。
   • 联合概率为 $\frac{m}{m+n} \cdot \frac{m-1}{m+n-1}$。

总概率为两种情况之和：
$\begin{aligned}P(\text{第二次黄球}) &= \frac{n}{m+n} \cdot \frac{m}{m+n-1} + \frac{m}{m+n} \cdot \frac{m-1}{m+n-1} \\&= \frac{m \cdot n + m(m-1)}{(m+n)(m+n-1)} \\&= \frac{m(n + m -1)}{(m+n)(m+n-1)} \\&= \frac{m}{m+n}\end{aligned}$

结论：两次取黄球的概率均为 $\frac{m}{m+n}$，因此两者相等。