题目

观察某地区未来5天的天气情况，记 A_i 为事件“有 i 天不下雨”，已知 P(A_i) = iP(A_0)，i = 1, 2, 3, 4, 5。求下列各事件的概率：(1) 5天均下雨； (2) 至少一天不下雨； (3) 至多三天不下雨。

观察某地区未来5天的天气情况，记 $A_i$ 为事件“有 $i$ 天不下雨”，已知 $P(A_i) = iP(A_0)$，$i = 1, 2, 3, 4, 5$。求下列各事件的概率： (1) 5天均下雨； (2) 至少一天不下雨； (3) 至多三天不下雨。

题目解答

答案

我们来逐步分析并解答这个概率问题。

题目理解与已知条件

我们观察某地区未来 5天 的天气情况。

定义事件 $ A_i $：表示“有 $ i $ 天不下雨”，其中 $ i = 0, 1, 2, 3, 4, 5 $。

注意：“有 $ i $ 天不下雨” 意味着在5天中，有 $ i $ 天是晴天（或非雨天），其余 $ 5 - i $ 天是下雨天。

已知：
$P(A_i) = i \cdot P(A_0), \quad \text{对 } i = 1, 2, 3, 4, 5$

注意：这个关系 从 $ i = 1 $ 开始，没有说 $ P(A_0) = 0 \cdot P(A_0) $，所以 $ P(A_0) $ 是一个基准值，我们需要利用概率的总和为1来求出它。

第一步：列出所有可能事件的概率表达式

事件 $ A_0 $：有 0 天不下雨 → 即 5天都下雨

事件 $ A_1 $：有 1 天不下雨 → 4天下雨，1天晴

……

事件 $ A_5 $：有 5 天不下雨 → 即 5天都不下雨

这些事件 $ A_0, A_1, \dots, A_5 $ 是互斥且穷尽所有“不下雨天数”的可能，因此它们构成一个完备事件组。

所以有：
$\sum_{i=0}^{5} P(A_i) = 1$

代入已知条件：

  • $ P(A_0) = P(A_0) $
  • $ P(A_1) = 1 \cdot P(A_0) $
  • $ P(A_2) = 2 \cdot P(A_0) $
  • $ P(A_3) = 3 \cdot P(A_0) $
  • $ P(A_4) = 4 \cdot P(A_0) $
  • $ P(A_5) = 5 \cdot P(A_0) $

所以总概率为：
$P(A_0) + P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) + P(A_4) + P(A_5) = P(A_0) + 1P(A_0) + 2P(A_0) + 3P(A_0) + 4P(A_0) + 5P(A_0)$
$= (1 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5) P(A_0) = 16 P(A_0)$

而总概率为1，因此：
$16 P(A_0) = 1 \quad \Rightarrow \quad P(A_0) = \frac{1}{16}$

第二步：求各个事件的概率

现在我们可以求出每个 $ P(A_i) $：

  • $ P(A_0) = \frac{1}{16} $
  • $ P(A_1) = 1 \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{16} $
  • $ P(A_2) = 2 \cdot \frac{1}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8} $
  • $ P(A_3) = 3 \cdot \frac{1}{16} = \frac{3}{16} $
  • $ P(A_4) = 4 \cdot \frac{1}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} $
  • $ P(A_5) = 5 \cdot \frac{1}{16} = \frac{5}{16} $

验证总和：
$\frac{1 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5}{16} = \frac{16}{16} = 1 \quad \text{正确}$

问题解答

(1) 5天均下雨

“5天均下雨” 意味着 0天不下雨，即事件 $ A_0 $

所以概率为：
$P(A_0) = \frac{1}{16}$

(2) 至少一天不下雨

“至少一天不下雨” 意味着不下雨的天数 $ \geq 1 $，即 $ i = 1, 2, 3, 4, 5 $

也就是 $ 1 - P(\text{0天不下雨}) = 1 - P(A_0) $

所以：
$P(\text{至少一天不下雨}) = 1 - P(A_0) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

(3) 至多三天不下雨

“至多三天不下雨” 意味着不下雨的天数 $ \leq 3 $，即 $ i = 0, 1, 2, 3 $

所以：
$P(A_0) + P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) = \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{2}{16} + \frac{3}{16} = \frac{7}{16}$

最终答案

(1) 5天均下雨的概率：$ \boxed{\dfrac{1}{16}} $

(2) 至少一天不下雨的概率：$ \boxed{\dfrac{15}{16}} $

(3) 至多三天不下雨的概率：$ \boxed{\dfrac{7}{16}} $

解析

本题主要考查概率的基本性质和计算，解题的关键在于利用所有可能事件的概率之和为$1$这一性质，先求出基准概率$P(A_0)$，再根据根据已知条件求出其他事件的概率，最后根据题目要求要求计算各问题的概率。

  1. 求出$P(A_0)$的值：
    • 已知$A_i$为事件“有$i$天不下雨”，$i = 0, 1, 2, 3, 4, 5$，且$P(A_i) = iP(A_0)$，$i = 1, 2,3,4,5$。
    • 因为$A_0,A_1,\cdots,A_5$构成一个完备事件组，根据概率的基本性质，所有可能事件的概率之和为$1$，即$\sum_{i = 0}^{5}P(A_i)=1$。
    • 将$P(A_i) = iP(A_0)$（$i = 1,2,3,4,5$）代入上式可得：
      $P(A_0)+P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)+P(A_4)+P(A_5)=P(A_0)+1\times P(A_0)+2\times P(A_0)+3\times P(A_0)+4\times P(A_0)+5\times P(A_0)$
      $=(1 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5)P(A_0)=16P(A_0)$
    • 由$16P(A_0)=1$，解得$P(A_0)=\frac{1}{16}$。
  2. 求出各$P(A_i)$的值：
    • 根据$P(A_i) = iP(A_0)$（$i = 1,2,3,4,5$）和$P(A_0)=\frac{1}{16}$，可得：
      $P(A_1)=1\times\frac{1}{16}=\frac{1}{16}$；
      $P(A_2)=2\times\frac{1}{16}=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$；
      $P(A_3)=3\times\frac{1}{16}=\frac{3}{16}$；
      $4) \(P(A_4)=4\times\frac{1}{16}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$；
      (5) $P(A_5)=5\times\frac{1}{16}=\frac{5}{16}$。
  3. 计算各问题的概率：
    • (1) 5天均下雨：
      “5天均下雨”意味着$0$天不下雨，即事件$A_0$，所以其概率为$P(A_0)=\frac{1}{16}$。
    • (2) 至少一天不下雨：
      “至少一天不下雨”意味着不下雨的天数$\(i\geq1$，即$i = 1,2,3,4,5$。
      根据对立事件概率的概率公式$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$，“至少一天不下雨”的对立事件是“$0$天不下雨”（即事件$A_0$），所以其概率为$1 - P(A_0)=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$。
    • (3) 至多三天不下雨：**
      “至多三天不下雨”意味着不下雨的天数$i\leq3$，即$i = 0,1,2,3$。
      所以其概率为$P(A_0)+P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)=\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{2}{16}+\frac{3}{16}=\frac{7}{16}$。