题目

设 A, B, C 为三个事件，用 A, B, C 的运算关系表示下列各事件：(1) A 发生，B 与 C 不发生；(2) A 与 B 都发生，而 C 不发生；(3) A, B, C 中至少有一个发生；(4) A, B, C 都发生；(5) A, B, C 都不发生；(6) A, B, C 中不多于一个发生；(7) A, B, C 中不多于两个发生；(8) A, B, C 中至少有两个发生.

设 A, B, C 为三个事件，用 A, B, C 的运算关系表示下列各事件： (1) A 发生，B 与 C 不发生； (2) A 与 B 都发生，而 C 不发生； (3) A, B, C 中至少有一个发生； (4) A, B, C 都发生； (5) A, B, C 都不发生； (6) A, B, C 中不多于一个发生； (7) A, B, C 中不多于两个发生； (8) A, B, C 中至少有两个发生.

题目解答

答案

我们设 $ A $、$ B $、$ C $ 为三个事件，用集合的运算（交、并、补）来表示下列各事件。记事件的补集为：$ A^c $ 表示 A 不发生，同理 $ B^c $、$ C^c $。

下面逐条分析：

(1) A 发生，B 与 C 不发生

  • 要求：A 发生，同时 B 不发生，C 也不发生。
  • 对应的事件是：A 发生，且 B 不发生，且 C 不发生。
  • 用集合运算表示为：
    $A \cap B^c \cap C^c$

(2) A 与 B 都发生，而 C 不发生

  • 要求：A 发生，B 发生，C 不发生。
  • 对应的事件是：A 和 B 同时发生，且 C 不发生。
  • 用集合运算表示为：
    $A \cap B \cap C^c$

(3) A, B, C 中至少有一个发生

  • “至少有一个发生” 表示 A、B、C 中有一个或多个发生。
  • 这是三个事件的并集。
  • 表示为：
    $A \cup B \cup C$

(4) A, B, C 都发生

  • 要求：A、B、C 同时发生。
  • 即三个事件的交集。
  • 表示为：
    $A \cap B \cap C$

(5) A, B, C 都不发生

  • 要求：A 不发生，B 不发生，C 也不发生。
  • 即三个事件的补集同时发生。
  • 表示为：
    $A^c \cap B^c \cap C^c$

(6) A, B, C 中不多于一个发生

  • “不多于一个发生” 表示：发生的事情最多一个，即：

    • 全部都不发生，或
    • 只有 A 发生，或
    • 只有 B 发生，或
    • 只有 C 发生。

  • 所以这个事件可以分解为以下互斥情况的并：

    1. 都不发生：$ A^c \cap B^c \cap C^c $
    2. 只有 A 发生：$ A \cap B^c \cap C^c $
    3. 只有 B 发生：$ A^c \cap B \cap C^c $
    4. 只有 C 发生：$ A^c \cap B^c \cap C \cap $

  • 所以整体为这四个事件的并：
    $(A^c \cap B^c \cap C^c) \cup (A \cap B^c \cap C^c) \cup (A^c \cap B \cap C^c) \cup (A^c \cap B^c \cap C)$

也可以简写为：所有至多一个事件发生的组合。

(7) A, B, C 中不多于两个发生

  • “不多于两个发生” 表示：发生的事情不超过两个，即：
    • 0 个发生，或
    • 1 个发生，或
    • 2 个发生。
  • 换句话说，不是三个都发生。
  • 所以这个事件是 “不满足 A、B、C 都发生” 的情况。
  • 即：全集减去三者都发生的事件。
  • 所以可以表示为：
    $(A \cap B \cap C)^c$
    或者等价于：
    $A^c \cup B^c \cup C^c$
    （根据德摩根律）

> 解释：三者都发生的补集，就是至少有一个不发生，即最多两个发生。

所以答案是：
$(A \cap B \cap C)^c \quad \text{或} \quad A^c \cup B^c \cup C^c$

(8) A, B, C 中至少有两个发生

  • “至少有两个发生” 包括以下情况：

    • A 和 B 发生，C 不发生：$ A \cap B \cap C^c $
    • A 和 C 发生，B 不发生：$ A \cap C \cap B^c $
    • B 和 C 发生，A 不发生：$ B \cap C \cap A^c $
    • A、B、C 都发生：$ A \cap B \cap C $

  • 所以是以上四种情况的并集：
    $(A \cap B \cap C^c) \cup (A \cap C \cap B^c) \cup (B \cap C \cap A^c) \cup (A \cap B \cap C)$

也可以简化为：任意两个发生（包括三个都发生的情况）。

另一种表示方法是：

  • 至少两个发生 = (A 和 B 发生) 或 (A 和 C 发生) 或 (B 和 C 发生)
  • 即：
    $(A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)$

> 注意：这个表达式已经包含了三者都发生的情况（因为三者都发生时，任意两个都发生），所以是等价的。

因此，更简洁的写法是：
$(A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)$

最终答案汇总：

(1) $ A \cap B^c \cap C^c $
(2) $ A \cap B \cap C^c $
(3) $ A \cup B \cup C $
(4) $ A \cap B \cap C $
(5) $ A^c \cap B^c \cap C^c $
(6) $ (A^c \cap B^c \cap C^c) \cup (A \cap B^c \cap C^c) \cup (A^c \cap B \cap C^c) \cup (A^c \cap B^c \cap C) $
(7) $ (A \cap B \cap C)^c $ 或 $ A^c \cup B^c \cup C^c $
(8) $ (A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C) $

答案：

$\boxed{ \begin{aligned}&(1)\ A \cap B^c \cap C^c \\&(2)\ A \cap B \cap C^c \\&(3)\ A \cup B \cup C \\&(4)\ A \cap B \cap C \\&(5)\ A^c \cap B^c \cap C^c \\&(6)\ (A^c \cap B^c \cap C^c) \cup (A \cap B^c \cap C^c) \cup (A^c \cap B \cap C^c) \cup (A^c \cap B^c \cap C) \\&(7)\ (A \cap B \cap C)^c \\&(8)\ (A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)\end{aligned} }$