1.设a为有理数,x为无理数.证明:-|||-(1) a+x 是无理数;(2)当-|||-neq 0 时,ax是无理数.-|||-2.试在数轴上表示出下列不等式的解:-|||-(1) ((x)^2-1)gt 0;-|||-(2) |x-1|lt |x-3|;-|||-(3) sqrt (x-1)-sqrt (2x-1)geqslant sqrt (3x-2).-|||-3.设a, in R. 证明:若对任何正数ε,有 |a-b|lt c, 则 =b.-|||-4.设 neq 0, 证明 |x+dfrac (1)(x)|geqslant 2, 并说明其中等号何时成立.-|||-5.证明:对任何 in R, 有-|||-(1) |x-1|+|x-2|geqslant 1;-|||-并说明等号何时成立.-|||-(2) |x-1|+|x-2|+|x-3|geqslant 2.

考查要点：本题主要考查绝对值不等式的证明，涉及均值不等式（AM-GM）的应用和代数变形技巧，同时需要考虑变量的正负性对结果的影响。

解题核心思路：

1. 分类讨论：根据$x$的正负性，分别处理绝对值表达式。
2. 均值不等式：对正数$x$直接应用AM-GM不等式；对负数$x$，通过变量代换转化为正数情形。
3. 平方消去绝对值：通过平方两边将绝对值不等式转化为代数不等式，结合$x^2 + \frac{1}{x^2} \geq 2$的结论完成证明。

破题关键点：

• 明确$x \neq 0$，避免分母为零。
• 等号成立条件需同时满足$x^2 = 1$，即$x = \pm 1$。

证明：

1. 当$x > 0$时：
   由算术-几何均值不等式，对正数$x$和$\frac{1}{x}$，有：
   $\frac{x + \frac{1}{x}}{2} \geq \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 1$
   两边乘以2得：
   $x + \frac{1}{x} \geq 2$
   因此：
   $\left|x + \frac{1}{x}\right| = x + \frac{1}{x} \geq 2$
   等号成立当且仅当$x = \frac{1}{x}$，即$x = 1$。

2. 当$x < 0$时：
   令$y = -x$，则$y > 0$，原式可变形为：
   $\left|x + \frac{1}{x}\right| = \left| -y - \frac{1}{y} \right| = y + \frac{1}{y}$
   同理应用AM-GM不等式得：
   $y + \frac{1}{y} \geq 2$
   因此：
   $\left|x + \frac{1}{x}\right| \geq 2$
   等号成立当且仅当$y = \frac{1}{y}$，即$y = 1$，对应$x = -1$。

3. 综合两种情况：
   当$x = \pm 1$时，等号成立。