题目
设f(x)为可导的函数,且满足方程f(x),则函数f(x)
设
为可导的函数,且满足方程
,则函数
题目解答
答案
对求导，即
故
解得
由
，得到：
故
解析
步骤 1：对给定的方程求导
给定方程为${\int }_{0}^{x}tf(t)dt=\dfrac {1}{2}(1+{x}^{2})f(x)-x$。对两边同时求导，利用微积分基本定理和乘积法则，得到$f(x)=xf(x)+\dfrac {1}{2}(1+{x}^{2})f'(x)-1$。
步骤 2：整理方程求解$f'(x)$
将$f(x)=xf(x)+\dfrac {1}{2}(1+{x}^{2})f'(x)-1$整理为$f'(x)=\dfrac {2}{1+{x}^{2}}$。
步骤 3：求解$f(x)$
对$f'(x)=\dfrac {2}{1+{x}^{2}}$积分，得到$f(x)=2\arctan x+C$。
步骤 4：确定常数C
由$f(0)=0$，代入$f(x)=2\arctan x+C$，得到$C=0$。
给定方程为${\int }_{0}^{x}tf(t)dt=\dfrac {1}{2}(1+{x}^{2})f(x)-x$。对两边同时求导，利用微积分基本定理和乘积法则，得到$f(x)=xf(x)+\dfrac {1}{2}(1+{x}^{2})f'(x)-1$。
步骤 2：整理方程求解$f'(x)$
将$f(x)=xf(x)+\dfrac {1}{2}(1+{x}^{2})f'(x)-1$整理为$f'(x)=\dfrac {2}{1+{x}^{2}}$。
步骤 3：求解$f(x)$
对$f'(x)=\dfrac {2}{1+{x}^{2}}$积分，得到$f(x)=2\arctan x+C$。
步骤 4：确定常数C
由$f(0)=0$，代入$f(x)=2\arctan x+C$，得到$C=0$。