5、计算intsqrt(y)ds，其中L是抛物线y=x^2上点（0，0）到（1，1）的一段弧.

考查要点：本题主要考查曲线积分的计算方法，特别是对弧长元素的理解与应用，以及换元积分法的运用。

解题核心思路：

1. 参数化曲线：将抛物线段用参数方程表示，选择$x$作为参数。
2. 表达弧长元素$ds$：利用公式$ds = \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} dx$。
3. 代入被积函数：将$y = x^2$代入$\sqrt{y}$，转化为关于$x$的定积分。
4. 换元积分：通过变量代换简化积分表达式，计算定积分。

破题关键点：

• 正确表达$ds$是解题基础，需注意导数的平方项。
• 变量代换的选择直接影响积分复杂度，需合理选择$u = 1 + 4x^2$。

参数化曲线与弧长元素

曲线$L$为抛物线$y = x^2$，参数$x$从$0$到$1$。
弧长元素$ds$的计算公式为：
$ds = \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} dx = \sqrt{1 + (2x)^2} dx = \sqrt{1 + 4x^2} dx.$

转化为定积分

被积函数$\sqrt{y}$代入$y = x^2$得$\sqrt{x^2} = x$（因$x \geq 0$）。
原积分转化为：
$\int_L \sqrt{y} \, ds = \int_0^1 x \cdot \sqrt{1 + 4x^2} \, dx.$

换元积分

令$u = 1 + 4x^2$，则$du = 8x \, dx$，即$x \, dx = \frac{du}{8}$。
当$x = 0$时，$u = 1$；当$x = 1$时，$u = 5$。
积分变为：
$\frac{1}{8} \int_1^5 \sqrt{u} \, du.$

计算定积分

积分$\int \sqrt{u} \, du$的结果为$\frac{2}{3} u^{3/2}$，代入上下限：
$\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} \left[ 5\sqrt{5} - 1 \right] = \frac{1}{12} \left( 5\sqrt{5} - 1 \right).$