[题目]指出函数 (x)=dfrac ({e)^dfrac (1{x)}-1}({e)^dfrac (1{x)}+1} 的间断点,并判别其-|||-类型。

考查要点：本题主要考查函数间断点的判断及其类型（第一类或第二类间断点）的识别。

解题核心思路：

1. 确定函数的定义域：找出使函数无定义的点，即分母为零或表达式无意义的点。
2. 计算左右极限：在定义域的边界点（如$x=0$）分别计算左极限和右极限。
3. 判断间断类型：根据左右极限是否存在及是否相等，确定间断点的类型。

破题关键点：

• 分母分析：分母$e^{\frac{1}{x}} + 1$恒正，因此函数仅在$x=0$处无定义。
• 极限计算：通过变量代换$y = \frac{1}{x}$，将极限转化为关于$y$的极限，简化计算。

步骤1：确定函数的定义域

函数$f(x) = \dfrac{e^{\frac{1}{x}} - 1}{e^{\frac{1}{x}} + 1}$的分母为$e^{\frac{1}{x}} + 1$。由于$e^{\frac{1}{x}} > 0$对所有$x \neq 0$成立，分母恒不为零。因此，函数在$x \neq 0$时有定义，唯一可能的间断点是$x=0$。

步骤2：计算$x=0$处的左右极限

右极限（$x \to 0^+$）

当$x \to 0^+$时，$\frac{1}{x} \to +\infty$，令$y = \frac{1}{x}$，则$y \to +\infty$：
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{y \to +\infty} \frac{e^y - 1}{e^y + 1} = \lim_{y \to +\infty} \frac{1 - e^{-y}}{1 + e^{-y}} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1.$

左极限（$x \to 0^-$）

当$x \to 0^-$时，$\frac{1}{x} \to -\infty$，令$y = \frac{1}{x}$，则$y \to -\infty$：
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{y \to -\infty} \frac{e^y - 1}{e^y + 1} = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1.$

步骤3：判断间断类型

• 左右极限均存在，但$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 \neq \lim_{x \to 0^-} f(x) = -1$。
• 因此，$x=0$是第一类间断点中的跳跃间断点。