题目
已知dfrac (y+z)(x)=dfrac (z+x)(y)=dfrac (x+y)(z) +y+zneq 0,,求分式dfrac (y+z)(x)=dfrac (z+x)(y)=dfrac (x+y)(z) +y+zneq 0,,的值
已知
求分式
的值
题目解答
答案
设
三式相加得
故答案为
解析
步骤 1：引入比例常数
设$\dfrac {y+z}{x}=\dfrac {z+x}{y}=\dfrac {x+y}{z}=k$，其中$k$为比例常数。
步骤 2：建立方程组
根据比例关系，可以得到以下方程组：
$y+z=kx$，
$z+x=ky$，
$x+y=kz$。
步骤 3：求解方程组
将上述三个方程相加，得到$2(x+y+z)=k(x+y+z)$。由于$x+y+z\neq 0$，可以得到$k=2$。
步骤 4：代入比例常数
将$k=2$代入方程组，得到$y+z=2x$，$z+x=2y$，$x+y=2z$。
步骤 5：计算目标分式
根据$y+z=2x$，$z+x=2y$，$x+y=2z$，可以得到$\dfrac {x-y-z}{x+2y+2z}=\dfrac {x-(y+z)}{x+2(y+z)}=\dfrac {x-2x}{x+2\cdot 2x}=\dfrac {-x}{x+4x}=\dfrac {-x}{5x}=-\dfrac {1}{5}$。
设$\dfrac {y+z}{x}=\dfrac {z+x}{y}=\dfrac {x+y}{z}=k$，其中$k$为比例常数。
步骤 2：建立方程组
根据比例关系，可以得到以下方程组：
$y+z=kx$，
$z+x=ky$，
$x+y=kz$。
步骤 3：求解方程组
将上述三个方程相加，得到$2(x+y+z)=k(x+y+z)$。由于$x+y+z\neq 0$，可以得到$k=2$。
步骤 4：代入比例常数
将$k=2$代入方程组，得到$y+z=2x$，$z+x=2y$，$x+y=2z$。
步骤 5：计算目标分式
根据$y+z=2x$，$z+x=2y$，$x+y=2z$，可以得到$\dfrac {x-y-z}{x+2y+2z}=\dfrac {x-(y+z)}{x+2(y+z)}=\dfrac {x-2x}{x+2\cdot 2x}=\dfrac {-x}{x+4x}=\dfrac {-x}{5x}=-\dfrac {1}{5}$。