1.求下列幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域.-|||-(1) sum _(n=1)^infty ((-1))^n-1dfrac ({x)^n}({n)^2}

步骤 1：确定幂级数的一般形式
幂级数的一般形式为 $\sum _{n=1}^{\infty }a_nx^n$，其中 $a_n$ 是系数。对于给定的幂级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\dfrac {{x}^{n}}{{n}^{2}}$，系数 $a_n = {(-1)}^{n-1}\dfrac {1}{{n}^{2}}$。

步骤 2：计算收敛半径
收敛半径 $R$ 可以通过公式 $R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|$ 来计算。将 $a_n = {(-1)}^{n-1}\dfrac {1}{{n}^{2}}$ 代入，得到
$$
R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{{(-1)}^{n-1}\dfrac {1}{{n}^{2}}}{{(-1)}^{n}\dfrac {1}{{(n+1)}^{2}}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{{(n+1)}^{2}}{{n}^{2}} \right| = 1
$$
因此，收敛半径 $R = 1$。

步骤 3：确定收敛区间
收敛区间为 $(-R, R)$，即 $(-1, 1)$。接下来，需要检查端点 $x = -1$ 和 $x = 1$ 是否收敛。

步骤 4：检查端点 $x = -1$
将 $x = -1$ 代入幂级数，得到 $\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\dfrac {{(-1)}^{n}}{{n}^{2}} = \sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{{n}^{2}}$。这是一个收敛的 p 级数（$p = 2 > 1$），因此 $x = -1$ 时幂级数收敛。

步骤 5：检查端点 $x = 1$
将 $x = 1$ 代入幂级数，得到 $\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\dfrac {{1}^{n}}{{n}^{2}} = \sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\dfrac {1}{{n}^{2}}$。这是一个交错级数，且 $\lim_{n \to \infty} \dfrac {1}{{n}^{2}} = 0$，因此根据交错级数判别法，$x = 1$ 时幂级数收敛。