18 单画 (4分)-|||-设 f(x)= ^dfrac {1{x)}},xneq 0 0,x=0(0)=0-|||-C. f'(0)=0-|||-D. f'(0)=1

本题考查分段函数在分段点处的左右导数以及导数的存在性，解题思路是根据左右导数的定义分别计算函数在$x = 0$处的左导数$f'_{-}(0)$和右导数$f'_{+}(0)$，再根据导数存在的充要条件判断$f'(0)$是否存在。

1. 计算左导数$f'_{-}(0)$

根据左导数的定义：$f'_{-}(0)=\lim\limits_{x \to 0^{-}}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$。
已知$f(x)=\begin{cases}\frac{x}{1 + e^{\frac{1}{x}}},&x\neq 0\\0,&x = 0\end{cases}$，将$f(x)$和$f(0)=0$代入上式可得：
$f'_{-}(0)=\lim\limits_{x \to 0^{-}}\frac{\frac{x}{1 + e^{\frac{1}{x}}} - 0}{x}=\lim\limits_{x \to 0^{-}}\frac{1}{1 + e^{\frac{1}{x}}}$
当$x \to 0^{-}$时，$\frac{1}{x} \to -\infty$，根据指数函数的性质，$e^{\frac{1}{x}} \to 0$，则：
$f'_{-}(0)=\lim\limits_{x \to 0^{-}}\frac{1}{1 + e^{\frac{1}{x}}}=\frac{1}{1 + 0}=1$

2. 计算右导数$f'_{+}(0)$

根据右导数的定义：$f'_{+}(0)=\lim\limits_{x \to 0^{+}}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$。
同样将$f(x)$和$f(0)=0$代入可得：
$f'_{+}(0)=\lim\limits_{x \to 0^{+}}\frac{\frac{x}{1 + e^{\frac{1}{x}}} - 0}{x}=\lim\limits_{x \to 0^{+}}\frac{1}{1 + e^{\frac{1}{x}}}$
当$x \to 0^{+}$时，$\frac{1}{x} \to +\infty$，根据指数函数的性质，$e^{\frac{1}{x}} \to +\infty$，则：
$f'_{+}(0)=\lim\limits_{x \to 0^{+}}\frac{1}{1 + e^{\frac{1}{x}}}=0$

3. 判断$f'(0)$是否存在

函数在某点处可导的充要条件是该点处的左导数和右导数都存在且相等。
由于$f'_{-}(0)=1$，$f'_{+}(0)=0$，$f'_{-}(0)\neq f'_{+}(0)$，所以$f'(0)$不存在。