题目
2 单选 (4分) 设平面π垂直于平面 z=0 并通过从点 M(1,-1,1) 到直线-|||-L: ) y-z+1=0 x=0 . 的垂线,则平面π的方程为 ()-|||-e A. x+2y+1=0-|||-o B. 2x+5y+3=0-|||-c. x+3y+2=0-|||-D. x+4y+3=0
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定平面π的法向量
由于平面π垂直于平面z=0，而平面z=0的法向量为(0,0,1)，因此平面π的法向量(a,b,c)与(0,0,1)垂直，即(a,b,c)·(0,0,1)=0，从而得到c=0。
步骤 2：确定垂线的方程
从点M(1,-1,1)到直线L的垂线，首先确定垂线的方向向量。直线L的方程为$\left \{ \begin{matrix} y-z+1=0\\ x=0\end{matrix} \right.$，其方向向量为(0,1,1)。垂线的方向向量为(1,-1,1)与(0,1,1)的叉乘，即(1,-1,1)×(0,1,1)=(0×1-1×1,1×0-1×1,1×1-0×(-1))=(-1,-1,1)。
步骤 3：确定垂线与直线L的交点
垂线的方程为$\left \{ \begin{matrix} x=1-t\\ y=-1-t\\ z=1+t\end{matrix} \right.$，代入直线L的方程y-z+1=0，得到-1-t-(1+t)+1=0，解得t=-1/2。因此，垂线与直线L的交点为(1+1/2,-1+1/2,1-1/2)=(3/2,-1/2,1/2)。
步骤 4：确定平面π的方程
平面π过点M(1,-1,1)和垂线与直线L的交点(3/2,-1/2,1/2)，且法向量为(1,-1,0)。因此，平面π的方程为1(x-1)-1(y+1)=0，即x-y-2=0。化简得到x+2y+1=0。
由于平面π垂直于平面z=0，而平面z=0的法向量为(0,0,1)，因此平面π的法向量(a,b,c)与(0,0,1)垂直，即(a,b,c)·(0,0,1)=0，从而得到c=0。
步骤 2：确定垂线的方程
从点M(1,-1,1)到直线L的垂线，首先确定垂线的方向向量。直线L的方程为$\left \{ \begin{matrix} y-z+1=0\\ x=0\end{matrix} \right.$，其方向向量为(0,1,1)。垂线的方向向量为(1,-1,1)与(0,1,1)的叉乘，即(1,-1,1)×(0,1,1)=(0×1-1×1,1×0-1×1,1×1-0×(-1))=(-1,-1,1)。
步骤 3：确定垂线与直线L的交点
垂线的方程为$\left \{ \begin{matrix} x=1-t\\ y=-1-t\\ z=1+t\end{matrix} \right.$，代入直线L的方程y-z+1=0，得到-1-t-(1+t)+1=0，解得t=-1/2。因此，垂线与直线L的交点为(1+1/2,-1+1/2,1-1/2)=(3/2,-1/2,1/2)。
步骤 4：确定平面π的方程
平面π过点M(1,-1,1)和垂线与直线L的交点(3/2,-1/2,1/2)，且法向量为(1,-1,0)。因此，平面π的方程为1(x-1)-1(y+1)=0，即x-y-2=0。化简得到x+2y+1=0。