题目
一曲线在其上任一点的切线的斜率为－2x/y，则此曲线是（ ）。A. 直线B. 抛物线C. 椭圆D. 圆
一曲线在其上任一点的切线的斜率为－2x/y，则此曲线是（ ）。
A. 直线
B. 抛物线
C. 椭圆
D. 圆
题目解答
答案
C. 椭圆
解析
步骤 1：理解题意
题目给出曲线在其上任一点的切线斜率为 -2x/y，即 dy/dx = -2x/y。这表示曲线的斜率与 x 和 y 的关系。
步骤 2：求解微分方程
根据 dy/dx = -2x/y，我们可以通过分离变量法求解微分方程。将方程两边同时乘以 y 并除以 dx，得到 y dy = -2x dx。然后对两边积分，得到 ∫y dy = ∫-2x dx。
步骤 3：积分求解
对左边积分，得到 (1/2)y^2 = C1，其中 C1 是积分常数。对右边积分，得到 -x^2 = C2，其中 C2 是积分常数。将两个积分结果相加，得到 (1/2)y^2 - x^2 = C，其中 C = C1 + C2 是新的积分常数。
步骤 4：确定曲线类型
将 (1/2)y^2 - x^2 = C 乘以 2，得到 y^2 - 2x^2 = 2C。这是一个椭圆的标准方程，其中 a^2 = 2C，b^2 = 1。因此，曲线是椭圆。
题目给出曲线在其上任一点的切线斜率为 -2x/y，即 dy/dx = -2x/y。这表示曲线的斜率与 x 和 y 的关系。
步骤 2：求解微分方程
根据 dy/dx = -2x/y，我们可以通过分离变量法求解微分方程。将方程两边同时乘以 y 并除以 dx，得到 y dy = -2x dx。然后对两边积分，得到 ∫y dy = ∫-2x dx。
步骤 3：积分求解
对左边积分，得到 (1/2)y^2 = C1，其中 C1 是积分常数。对右边积分，得到 -x^2 = C2，其中 C2 是积分常数。将两个积分结果相加，得到 (1/2)y^2 - x^2 = C，其中 C = C1 + C2 是新的积分常数。
步骤 4：确定曲线类型
将 (1/2)y^2 - x^2 = C 乘以 2，得到 y^2 - 2x^2 = 2C。这是一个椭圆的标准方程，其中 a^2 = 2C，b^2 = 1。因此，曲线是椭圆。