题目
5.判断题若函数z=f(x,y)在点(x_(0),y_(0))可微分，则函数z=f(x,y)在点(x_(0),y_(0))连续.A 对B 错A. 对B. 错
5.判断题
若函数$z=f(x,y)$在点$(x_{0},y_{0})$可微分，则函数$z=f(x,y)$在点$(x_{0},y_{0})$连续.
A 对
B 错
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
步骤 1：理解可微分性的定义
函数 $ z = f(x, y) $ 在点 $ (x_0, y_0) $ 可微分，意味着存在两个常数 $ A $ 和 $ B $，使得函数的全增量 $ \Delta z $ 可以表示为： \[ \Delta z = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0) = A \Delta x + B \Delta y + o(\rho) \] 其中 $ \rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} $，且 $ o(\rho) $ 是 $ \rho $ 的高阶无穷小，即 $ \lim_{\rho \to 0} \frac{o(\rho)}{\rho} = 0 $。
步骤 2：理解连续性的定义
函数 $ z = f(x, y) $ 在点 $ (x_0, y_0) $ 连续，如果： \[ \lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = f(x_0, y_0) \] 或者等价地，如果： \[ \lim_{\rho \to 0} \Delta z = 0 \]
步骤 3：可微分性与连续性之间的关系
从可微分性的定义中，我们有： \[ \Delta z = A \Delta x + B \Delta y + o(\rho) \] 当 $ \rho \to 0 $ 时，$ \Delta x \to 0 $ 和 $ \Delta y \to 0 $。因此： \[ \lim_{\rho \to 0} \Delta z = \lim_{\rho \to 0} (A \Delta x + B \Delta y + o(\rho)) = A \cdot 0 + B \cdot 0 + \lim_{\rho \to 0} o(\rho) = 0 \] 由于 $ o(\rho) $ 是 $ \rho $ 的高阶无穷小，$ \lim_{\rho \to 0} o(\rho) = 0 $。因此： \[ \lim_{\rho \to 0} \Delta z = 0 \] 这意味着函数 $ z = f(x, y) $ 在点 $ (x_0, y_0) $ 连续。
函数 $ z = f(x, y) $ 在点 $ (x_0, y_0) $ 可微分，意味着存在两个常数 $ A $ 和 $ B $，使得函数的全增量 $ \Delta z $ 可以表示为： \[ \Delta z = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0) = A \Delta x + B \Delta y + o(\rho) \] 其中 $ \rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} $，且 $ o(\rho) $ 是 $ \rho $ 的高阶无穷小，即 $ \lim_{\rho \to 0} \frac{o(\rho)}{\rho} = 0 $。
步骤 2：理解连续性的定义
函数 $ z = f(x, y) $ 在点 $ (x_0, y_0) $ 连续，如果： \[ \lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = f(x_0, y_0) \] 或者等价地，如果： \[ \lim_{\rho \to 0} \Delta z = 0 \]
步骤 3：可微分性与连续性之间的关系
从可微分性的定义中，我们有： \[ \Delta z = A \Delta x + B \Delta y + o(\rho) \] 当 $ \rho \to 0 $ 时，$ \Delta x \to 0 $ 和 $ \Delta y \to 0 $。因此： \[ \lim_{\rho \to 0} \Delta z = \lim_{\rho \to 0} (A \Delta x + B \Delta y + o(\rho)) = A \cdot 0 + B \cdot 0 + \lim_{\rho \to 0} o(\rho) = 0 \] 由于 $ o(\rho) $ 是 $ \rho $ 的高阶无穷小，$ \lim_{\rho \to 0} o(\rho) = 0 $。因此： \[ \lim_{\rho \to 0} \Delta z = 0 \] 这意味着函数 $ z = f(x, y) $ 在点 $ (x_0, y_0) $ 连续。