13.求不定积分int(arcsinsqrt(x))/(sqrt(1-x))dx.

考查要点：本题主要考查分部积分法在复杂不定积分中的应用，以及对反三角函数与根式结合的积分处理能力。

解题核心思路：

1. 选择合适的分部积分变量：通过观察被积函数的结构，选择将$\arcsin\sqrt{x}$作为$u$，剩余部分$\frac{1}{\sqrt{1-x}}dx$作为$dv$，从而简化积分形式。
2. 化简剩余积分：分部积分后，剩余的积分需通过代数变形进一步简化，最终转化为基本积分形式。
3. 代换法验证：通过变量代换$t = \sqrt{x}$，将原积分转化为更易处理的形式，验证结果的一致性。

破题关键点：

• 正确计算导数与积分：准确求出$du$和$v$，避免符号错误。
• 代数化简技巧：分部积分后的积分需通过约分、简化根式等操作转化为基本积分。

分部积分法

1. 设变量：
   设$u = \arcsin\sqrt{x}$，则$du = \frac{1}{2\sqrt{x(1-x)}}dx$；
   设$dv = \frac{1}{\sqrt{1-x}}dx$，则$v = -2\sqrt{1-x}$。

2. 应用分部积分公式：
   $\begin{aligned} \int \frac{\arcsin\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}}dx &= uv - \int v du \\ &= -2\sqrt{1-x} \cdot \arcsin\sqrt{x} + \int \frac{2\sqrt{1-x}}{\sqrt{x(1-x)}}dx. \end{aligned}$

3. 化简剩余积分：
   剩余积分$\int \frac{2\sqrt{1-x}}{\sqrt{x(1-x)}}dx$可化简为$\int \frac{2}{\sqrt{x}}dx = 4\sqrt{x} + C$。

4. 合并结果：
   最终结果为：
   $-2\sqrt{1-x} \arcsin\sqrt{x} + 2\sqrt{x} + C.$

代换法验证

令$t = \sqrt{x}$，则$x = t^2$，$dx = 2t dt$，原积分变为：
$2 \int t \cdot \frac{\arcsin t}{\sqrt{1-t^2}} dt.$
设$u = \arcsin t$，则$du = \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt$，积分进一步化简为：
$2 \int u \sin u \, du,$
通过分部积分可得相同结果。