[例12.20]设曲线L是 ^dfrac (2{3)}+(y)^dfrac (2{3)}=(a)^dfrac (2{3)} 在第一象限的一段,求L的长;若L的线密度-|||-是常数k,求L的质心坐标.

考查要点：本题主要考查参数方程的应用、曲线弧长的计算以及质心坐标的求解。
解题思路：

1. 参数方程选择：将星形线方程转化为参数方程，简化积分运算。
2. 弧长公式：利用参数方程求导，结合弧长公式计算曲线长度。
3. 质心公式：通过线密度为常数的性质，简化积分表达式，分别计算坐标积分。
   关键点：

• 参数方程的正确性验证，确保代入原方程成立。
• 积分变量替换技巧，如换元法处理幂函数积分。

曲线长度计算

1. 参数方程：
   设参数方程为
   $\begin{cases} x = a \cos^3 t \\ y = a \sin^3 t \end{cases} \quad (0 \leq t \leq \dfrac{\pi}{2})$
   代入原方程验证：
   $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3} (\cos^2 t + \sin^2 t) = a^{2/3}$
   符合题意。

2. 求导与弧长元素：
   $\dfrac{dx}{dt} = -3a \cos^2 t \sin t, \quad \dfrac{dy}{dt} = 3a \sin^2 t \cos t$
   $ds = \sqrt{\left( \dfrac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \dfrac{dy}{dt} \right)^2} \, dt = 3a |\cos t \sin t| \, dt$
   在第一象限内，$\cos t \sin t \geq 0$，故 $ds = 3a \cos t \sin t \, dt$。

3. 积分计算：
   $s = \int_0^{\pi/2} 3a \cos t \sin t \, dt = 3a \cdot \dfrac{1}{2} \int_0^{\pi/2} \sin 2t \, dt = \dfrac{3a}{2}$

质心坐标计算

1. 坐标积分：

   • $\overline{x}$：
     $\int_L x \, ds = \int_0^{\pi/2} a \cos^3 t \cdot 3a \cos t \sin t \, dt = 3a^2 \int_0^{\pi/2} \cos^4 t \sin t \, dt$
     换元 $u = \cos t$，得：
     $3a^2 \int_0^1 u^4 \, du = \dfrac{3a^2}{5}$
   • $\overline{y}$：
     $\int_L y \, ds = \int_0^{\pi/2} a \sin^3 t \cdot 3a \cos t \sin t \, dt = 3a^2 \int_0^{\pi/2} \sin^4 t \cos t \, dt$
     换元 $u = \sin t$，得：
     $3a^2 \int_0^1 u^4 \, du = \dfrac{3a^2}{5}$

2. 质心坐标：
   $\overline{x} = \dfrac{\int_L x \, ds}{s} = \dfrac{3a^2/5}{3a/2} = \dfrac{2a}{5}, \quad \overline{y} = \dfrac{2a}{5}$