题目

1.求由抛物线y=4-x^2与x轴所围成的平面图形的面积.

1.求由抛物线$y=4-x^{2}$与x轴所围成的平面图形的面积.

题目解答

答案

为了求由抛物线 $ y = 4 - x^2 $ 与x轴所围成的平面图形的面积，我们需要按照以下步骤进行： 1. **确定抛物线与x轴的交点：** 抛物线与x轴相交的点满足 $ y = 0 $。因此，我们解方程 $ 4 - x^2 = 0 $： \[ 4 - x^2 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2. \] 所以，交点是 $ x = -2 $ 和 $ x = 2 $。 2. **设置积分以求面积：** 从 $ x = -2 $ 到 $ x = 2 $ 之间的曲线 $ y = 4 - x^2 $ 与x轴所围成的面积 $ A $ 由函数 $ y = 4 - x^2 $ 从 $ x = -2 $ 到 $ x = 2 $ 的定积分给出： \[ A = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx. \] 3. **计算积分：** 我们将积分分解为两个更简单的积分： \[ A = \int_{-2}^{2} 4 \, dx - \int_{-2}^{2} x^2 \, dx. \] 第一个积分是： \[ \int_{-2}^{2} 4 \, dx = 4x \bigg|_{-2}^{2} = 4(2) - 4(-2) = 8 + 8 = 16. \] 第二个积分是： \[ \int_{-2}^{2} x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \bigg|_{-2}^{2} = \frac{(2)^3}{3} - \frac{(-2)^3}{3} = \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = \frac{16}{3}. \] 因此，面积 $ A $ 是： \[ A = 16 - \frac{16}{3} = \frac{48}{3} - \frac{16}{3} = \frac{32}{3}. \] 所以，由抛物线 $ y = 4 - x^2 $ 与x轴所围成的平面图形的面积是 $\boxed{\frac{32}{3}}$。

解析

考查要点：本题主要考查利用定积分计算平面图形的面积，涉及抛物线与x轴交点的求解以及积分计算的基本方法。

解题核心思路：

  1. 确定积分区间：找到抛物线与x轴的交点，确定积分上下限。
  2. 建立积分表达式：在积分区间内，抛物线始终位于x轴上方，因此面积直接由函数的定积分给出。
  3. 计算定积分：通过分项积分简化计算过程，注意代数运算的准确性。

破题关键点：

  • 正确求解交点：解方程$4 - x^2 = 0$，得到$x = \pm 2$，确定积分区间为$[-2, 2]$。
  • 理解几何意义：积分结果的绝对值即为面积，本题中函数值非负，无需分段讨论。

步骤1：确定积分区间

抛物线$y = 4 - x^2$与x轴的交点满足$y = 0$，解方程：
$4 - x^2 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2.$
因此，积分区间为$[-2, 2]$。

步骤2：建立积分表达式

面积$A$由函数$y = 4 - x^2$在区间$[-2, 2]$上的定积分给出：
$A = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx.$

步骤3：分项积分计算

将积分拆分为两部分：
$A = \int_{-2}^{2} 4 \, dx - \int_{-2}^{2} x^2 \, dx.$

计算第一项积分

$\int_{-2}^{2} 4 \, dx = 4x \bigg|_{-2}^{2} = 4(2) - 4(-2) = 8 + 8 = 16.$

计算第二项积分

$\int_{-2}^{2} x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \bigg|_{-2}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{(-2)^3}{3} = \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = \frac{16}{3}.$

步骤4：求总面积

将两部分结果相减：
$A = 16 - \frac{16}{3} = \frac{48}{3} - \frac{16}{3} = \frac{32}{3}.$