题目
29.-|||-函数f(x)在x0处连续的充要条件是f(x)在x0处既左连续又右连续。-|||-A 对-|||-B 错
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查函数连续性的定义及其充要条件的理解，重点在于区分“连续”与“左连续、右连续”的关系。
解题核心思路：
- 连续的定义：函数在点$x_0$处连续需满足三个条件：
- 函数在$x_0$处有定义；
- 左极限$\lim_{x \to x_0^-} f(x)$和右极限$\lim_{x \to x_0^+} f(x)$存在；
- 左极限等于右极限，且等于$f(x_0)$。
- 左连续与右连续：
- 左连续：$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$；
- 右连续：$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$。
- 充要条件的逻辑：若函数在$x_0$处既左连续又右连续，则必然满足$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$，从而保证连续性；反之，连续性必然蕴含左连续和右连续。因此，二者是充要条件关系。
破题关键点：
- 明确“左连续”和“右连续”隐含函数在$x_0$处有定义；
- 理解“充要条件”需双向成立。
充要条件的双向验证：
-
连续 $\Rightarrow$ 左连续且右连续：
若$f(x)$在$x_0$处连续，则根据定义，$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$。因此：- 左极限$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$（左连续）；
- 右极限$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$（右连续）。
-
左连续且右连续 $\Rightarrow$ 连续：
若$f(x)$在$x_0$处既左连续又右连续，则：- $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$；
- $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$。
因此，$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$，即$f(x)$在$x_0$处连续。
结论：题目中的命题成立，答案为A对。