(2010年试题,13)已知一个长方形的长l以2cm/s的速率增加,宽W以3cm/s的速率增加,则当l=12cm,w=5cm时,它的对角线增加速率为_______.

考查要点：本题主要考查相关变化率的应用，涉及链式法则的使用，以及如何将几何问题转化为微分问题。

解题核心思路：

1. 建立几何关系：利用勾股定理表示对角线长度$s = \sqrt{l^2 + w^2}$。
2. 对时间求导：通过链式法则，将$s$对时间$t$的导数分解为对$l$和$w$的导数，再结合$l$和$w$的变化率。
3. 代入已知条件：在特定时刻$l=12$ cm，$w=5$ cm时，代入$l$和$w$的变化率计算最终结果。

破题关键点：

• 正确应用链式法则，明确$s$对$t$的导数与$l$、$w$对$t$的导数之间的关系。
• 注意分母是对角线长度，避免直接相加变化率导致错误。

设长方形的长$l = x(t)$，宽$w = y(t)$，对角线$s(t) = \sqrt{l^2 + w^2}$。根据题意，当$l=12$ cm，$w=5$ cm时，$l$和$w$的变化率分别为$\frac{dl}{dt}=2$ cm/s，$\frac{dw}{dt}=3$ cm/s。

步骤1：对$s$关于$t$求导
根据链式法则：
$\frac{ds}{dt} = \frac{ds}{dl} \cdot \frac{dl}{dt} + \frac{ds}{dw} \cdot \frac{dw}{dt}$

步骤2：计算偏导数
由$s = \sqrt{l^2 + w^2}$，得：
$\frac{ds}{dl} = \frac{l}{\sqrt{l^2 + w^2}}, \quad \frac{ds}{dw} = \frac{w}{\sqrt{l^2 + w^2}}$

步骤3：代入已知条件
当$l=12$，$w=5$时，对角线长度$s = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13$ cm。
将偏导数和变化率代入：
$\frac{ds}{dt} = \frac{12}{13} \cdot 2 + \frac{5}{13} \cdot 3 = \frac{24 + 15}{13} = \frac{39}{13} = 3 \, \text{cm/s}$