题目

1. 应用高斯公式计算下列曲面积分:(1) oint_(S) yzdydz + zxdzdx + xydxdy，其中S是单位球面x^2+y^2+z^2=1的外侧;(2) oint_(S) x^2dydz + y^2dzdx + z^2dxdy，其中S是立方体0≤x,y,z≤a表面的外侧;(3) oint_(S) x^2dydz + y^2dzdx + z^2dxdy，其中S是锥面x^2+y^2=z^2与平面z=h所围空间区域

1. 应用高斯公式计算下列曲面积分: (1) $\oint_{S} yzdydz + zxdzdx + xydxdy$，其中S是单位球面$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$的外侧; (2) $\oint_{S} x^{2}dydz + y^{2}dzdx + z^{2}dxdy$，其中S是立方体0≤x,y,z≤a表面的外侧; (3) $\oint_{S} x^{2}dydz + y^{2}dzdx + z^{2}dxdy$，其中S是锥面$x^{2}+y^{2}=z^{2}$与平面z=h所围空间区域

题目解答

答案

(1) 由高斯公式，$\iint_S yz \, dydz + zx \, dzdx + xy \, dxdy = \iiint_V (0 + 0 + 0) \, dV = 0$。
答案： $\boxed{0}$

(2) 由高斯公式，$\iint_S x^2 \, dydz + y^2 \, dzdx + z^2 \, dxdy = \iiint_V 2(x + y + z) \, dV$。
立方体体积积分得 $3a^4$。
答案： $\boxed{3a^4}$

(3) 由高斯公式，$\iint_S x^2 \, dydz + y^2 \, dzdx + z^2 \, dxdy = \iiint_V 2(x + y + z) \, dV$。
锥体体积积分得 $\frac{\pi h^4}{2}$。
答案： $\boxed{\frac{\pi h^4}{2}}$