设二维随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，y)，分布律如下. YX12341dfrac(1)(4)00dfrac(1)(16)2dfrac(1)(16)dfrac(1)(4)0dfrac(1)(4)30dfrac(1)(16)dfrac(1)(16)0试求：(1)Pdfrac{1)(2)lt Xlt dfrac(3)(2)，0lt Ylt 4}；(2)P1leqslant Xleqslant 2，3leqslant Yleqslant 4；(3)F(2，3).
设二维随机变量$\left(X，Y\right)$的分布函数为$F\left(x，y\right)$，分布律如下.
$Y$ $X$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
$1$ | $\dfrac{1}{4}$ | $0$ | $0$ | $\dfrac{1}{16}$ |
$2$ | $\dfrac{1}{16}$ | $\dfrac{1}{4}$ | $0$ | $\dfrac{1}{4}$ |
$3$ | $0$ | $\dfrac{1}{16}$ | $\dfrac{1}{16}$ | $0$ |
试求：$\left(1\right)P\left\{\dfrac{1}{2}\lt X\lt \dfrac{3}{2}，0\lt Y\lt 4\right\}$；
$\left(2\right)P\left\{1\leqslant X\leqslant 2，3\leqslant Y\leqslant 4\right\}$；
$\left(3\right)F\left(2，3\right)$.
题目解答
答案
（1）$P\left\{\dfrac{1}{2}\lt X\lt \dfrac{3}{2},0\lt Y\lt 4\right\}$$=P\left\{X=1,Y=1\right\}$
$+P\left\{X=1,Y=2\right\}+P\left\{X=1,Y=3\right\}$
$=\dfrac{1}{4}+0+0=\dfrac{1}{4}$.
（2）$P\left\{1\leqslant X\leqslant 2,3\leqslant Y\leqslant 4\right\}$$=P\left\{X=1,Y=3\right\}$
$+P\left\{X=1,Y=4\right\}$$+P\left\{X=2,Y=3\right\}$$+P\left\{X=2,Y=4\right\}$
$=0+\dfrac{1}{16}+0+\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{16}$.
（3）$F\left(2,3\right)=P\left\{X\leqslant 2,Y\leqslant 3\right\}$$=P\left\{X=1,Y=1\right\}$
$+P\left\{X=1,Y=2\right\}+P\left\{X=1,Y=3\right\}$$+P\left\{X=2,Y=1\right\}$
$+P\left\{X=2,Y=2\right\}$$+P\left\{X=2,Y=3\right\}$
$=\dfrac{1}{4}+0+0+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{4}+0=\dfrac{9}{16}$.
解析
考查要点：本题主要考查二维离散型随机变量的分布律应用，涉及概率计算和分布函数的理解。
解题思路：
- 明确变量取值范围：根据题目中的不等式，确定X和Y的可能取值；
- 对应分布律表格：找到满足条件的(X,Y)组合，对应表格中的概率值；
- 概率求和：将符合条件的概率值相加，注意区间开闭对取值的影响。
关键点：
- 离散型变量的事件概率对应表格中特定单元格的概率；
- 开区间不包含端点，闭区间包含端点；
- 分布函数F(x,y)是X≤x且Y≤y的所有概率之和。
（1）$P\left\{\dfrac{1}{2} 分析： （2）$P\left\{1\leqslant X\leqslant 2, 3\leqslant Y\leqslant 4\right\}$ 分析： （3）$F(2,3)$ 分析：
计算：
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