题目

简答题（共5题，40.0分）12. (8.0分) [A11-8]计算oint_(L) xdx+dy，其中L是逆时针方向的单位圆周x²+y²=1.请输入答案

简答题（共5题，40.0分） 12. (8.0分) [A11-8]计算$\oint_{L} xdx+dy$，其中L是逆时针方向的单位圆周x²+y²=1. 请输入答案

题目解答

答案

为了计算线积分$\oint_{L} x \, dx + dy$，其中$L$是逆时针方向的单位圆周$x^2 + y^2 = 1$，我们可以使用格林定理。格林定理指出，对于一个正向、分段光滑、简单闭合曲线$C$和由$C$包围的区域$D$，如果$L$和$M$是定义在包含$D$的开区域上的函数，且具有连续的偏导数，那么 \[ \oint_{C} L \, dx + M \, dy = \iint_{D} \left( \frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y} \right) \, dA. \] 在这个问题中，$L = x$和$M = 1$。因此，我们有 \[ \frac{\partial M}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(1) = 0 \quad \text{和} \quad \frac{\partial L}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x) = 0. \] 所以，格林定理的被积函数变为 \[ \frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y} = 0 - 0 = 0. \] 因此，二重积分是 \[ \iint_{D} 0 \, dA = 0. \] 因此，线积分的值为 \[ \oint_{L} x \, dx + dy = 0. \] 最终答案是$\boxed{0}$.

解析

考查要点：本题主要考查格林定理的应用，以及如何将闭合曲线上的线积分转化为二重积分进行计算。

解题核心思路：

  1. 识别题目条件：积分路径是逆时针方向的单位圆，满足格林定理的适用条件（闭合、分段光滑、正向）。
  2. 应用格林定理：将线积分转换为二重积分，计算被积函数 $\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}$。
  3. 简化计算：若被积函数为零，则积分结果直接为零，无需计算二重积分。

破题关键点：

  • 正确识别 $L$ 和 $M$：题目中 $L = x$，$M = 1$。
  • 偏导数计算：$\frac{\partial M}{\partial x} = 0$，$\frac{\partial L}{\partial y} = 0$，导致被积函数为零。

步骤1：应用格林定理

根据格林定理，闭合曲线 $L$ 上的线积分可转化为：
$\oint_{L} x \, dx + dy = \iint_{D} \left( \frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y} \right) \, dA,$
其中 $L = x$，$M = 1$，$D$ 是单位圆 $x^2 + y^2 = 1$ 所围区域。

步骤2：计算偏导数

  • $\frac{\partial M}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(1) = 0$
  • $\frac{\partial L}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x) = 0$

步骤3：代入格林定理

被积函数为：
$\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y} = 0 - 0 = 0.$
因此，二重积分结果为：
$\iint_{D} 0 \, dA = 0.$

步骤4：结论

原线积分的值为 $0$。