题目

求函数f ( (x) )=(x)^3-3(x)^2-9x+1的极值.

求函数$f\left ( {x} \right )={x}^{3}-3{x}^{2}-9x+1$的极值.

题目解答

答案

$f'\left ( {x} \right )=3{x}^{2}-6x-9=3\left ( {x+1} \right )\left ( {x-3} \right )$

令$f'\left ( {x} \right )=0$得，$x=-1,x=3$

当$x\in \left ( {-1,3} \right )$时,$f'\left ( {x} \right )\lt 0$

当$x\in \left ( {-\infty ,-1} \right )\cup \left ( {3,+\infty } \right )$时,$f'\left ( {x} \right )\gt 0$.

$\therefore f\left ( {x} \right )$极大值是$f\left ( {-1} \right )=6$ 极小值是$f\left ( {3} \right )=-26$

综上所述，极大值是$f\left ( {-1} \right )=6$ 极小值是$f\left ( {3} \right )=-26$。

解析

本题考查利用导数求函数的极值。解题思路如下：

首先，对给定函数求导，得到导函数$f^\prime(x)$。
- 对于函数$f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x + 1$，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，常数的导数为$0$，对$f(x)$求导可得：
  - $f^\prime(x)=(x^{3}-3x^{2}-9x + 1)^\prime=(x^{3})^\prime-(3x^{2})^\prime-(9x)^\prime+(1)^\prime$。
  - 因为$(x^{3})^\prime = 3x^{2}$，$(3x^{2})^\prime=3\times2x = 6x$，$(9x)^\prime = 9$，$(1)^\prime = 0$，所以$f^\prime(x)=3x^{2}-6x - 9$。
  - 对$f^\prime(x)$进行因式分解，提取公因式$3$可得$f^\prime(x)=3(x^{2}-2x - 3)$，再根据十字相乘法$x^{2}-2x - 3=(x + 1)(x - 3)$，则$f^\prime(x)=3(x + 1)(x - 3)$。
然后，令导函数$f^\prime(x)=0$，求出函数的驻点。
- 令$f^\prime(x)=3(x + 1)(x - 3)=0$，则$x+1 = 0$或$x - 3 = 0$，解得$x=-1$或$x = 3$。
接着，根据驻点将定义域划分为不同区间，判断导函数在各区间的正负性，从而确定函数的单调性。
- 当$x\in(-\infty,-1)$时，取$x=-2$，则$f^\prime(-2)=3\times(-2 + 1)\times(-2 - 3)=3\times(-1)\times(-5)=15\gt0$，所以当$x\in(-\infty,-1)$时，$f^\prime(x)\gt0$，函数$f(x)$单调递增。
- 当$x\in(-1,3)$时，取$x = 0$，则$f^\prime(0)=3\times(0 + 1)\times(0 - 3)=3\times1\times(-3)=-9\lt0$，所以当$x\in(-1,3)$时，$f^\prime(x)\lt0$，函数$f(x)$单调递减。
- 当$x\in(3,+\infty)$时，取$x = 4$，则$f^\prime(4)=3\times(4 + 1)\times(4 - 3)=3\times5\times1 = 15\gt0$，所以当$x\in(3,+\infty)$时，$f^\prime(x)\gt0$，函数$f(x)$单调递增。
最后，根据函数单调性确定函数的极值。
- 因为函数$f(x)$在$x=-1$左侧单调递增，右侧单调递减，所以$x=-1$为函数的极大值点，将$x=-1$代入原函数$f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x + 1$可得：
  - $f(-1)=(-1)^{3}-3\times(-1)^{2}-9\times(-1)+1=-1 - 3 + 9 + 1=6$。
- 因为函数$f(x)$在$x = 3$左侧单调递减，右侧单调递增，所以$x = 3$为函数的极小值点，将$x = 3$代入原函数$f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x + 1$可得：
  - $f(3)=3^{3}-3\times3^{2}-9\times3 + 1=27-27 - 27+1=-26$。