题目
单选题(0.5分)-|||-7.设 '(ln x)=(1+x)ln x 则 f(x)=-|||-【】。-|||-A (e)^x+dfrac ({x)^2}(2)+C-|||-B (x-1)(e)^x-dfrac ({x)^2}(2)+C-|||-div (e)^x-dfrac ({x)^2}(2)+C-|||-D (x-1)(e)^x+dfrac ({x)^2}(2)+C
题目解答
答案
解析
步骤 1：变量替换
设 $t = \ln x$，则 $x = e^t$。因此，$f'(\ln x)$ 可以写成 $f'(t)$。
步骤 2：求导数
根据题目条件，$f'(t) = (1 + e^t)t$。
步骤 3：积分求原函数
对 $f'(t)$ 积分，得到 $f(t)$。即 $f(t) = \int (1 + e^t)t dt$。
步骤 4：分部积分
使用分部积分法，设 $u = t$，$dv = (1 + e^t)dt$，则 $du = dt$，$v = t + e^t$。因此，$f(t) = (t + e^t)t - \int (t + e^t)dt$。
步骤 5：计算积分
计算 $\int (t + e^t)dt$，得到 $\int (t + e^t)dt = \frac{1}{2}t^2 + e^t + C$。
步骤 6：代入 $t = \ln x$
将 $t = \ln x$ 代入 $f(t)$，得到 $f(x) = (x - 1)e^x + \frac{1}{2}x^2 + C$。
设 $t = \ln x$，则 $x = e^t$。因此，$f'(\ln x)$ 可以写成 $f'(t)$。
步骤 2：求导数
根据题目条件，$f'(t) = (1 + e^t)t$。
步骤 3：积分求原函数
对 $f'(t)$ 积分，得到 $f(t)$。即 $f(t) = \int (1 + e^t)t dt$。
步骤 4：分部积分
使用分部积分法，设 $u = t$，$dv = (1 + e^t)dt$，则 $du = dt$，$v = t + e^t$。因此，$f(t) = (t + e^t)t - \int (t + e^t)dt$。
步骤 5：计算积分
计算 $\int (t + e^t)dt$，得到 $\int (t + e^t)dt = \frac{1}{2}t^2 + e^t + C$。
步骤 6：代入 $t = \ln x$
将 $t = \ln x$ 代入 $f(t)$，得到 $f(x) = (x - 1)e^x + \frac{1}{2}x^2 + C$。