5.微分方程y'+ycos x=e^-sin x的通解为（）A. y=e^-sin x(x+C)B. y=e^-cos x(x+C)C. y=e^sin x(x+C)D. y=e^cos x(x+C)

本题考查一阶线性非齐次微分方程的求解。解题思路是先判断方程类型，再利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式进行求解。

对于一阶线性非齐次微分方程的标准形式为$y'+P(x)y = Q(x)$，其通解公式为$y = e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C)$，其中$C$为任意常数。

下面我们来求解给定的微分方程$y'+y\cos x=e^{-\sin x}$：

1. 首先确定$P(x)$和$Q(x)$：
   • 对比标准形式，可得$P(x)=\cos x$，$Q(x)=e^{-\sin x}$。
2. 然后计算$e^{-\int P(x)dx}$：
   • 先计算$\int P(x)dx=\int\cos xdx$，根据积分公式$\int\cos xdx=\sin x + C_1$（$C_1$为常数，在后续计算中可忽略），所以$\int\cos xdx=\sin x$。
   • 则$e^{-\int P(x)dx}=e^{-\sin x}$。
3. 接着计算$e^{\int P(x)dx}$：
   • 因为$\int P(x)dx=\sin x$，所以$e^{\int P(x)dx}=e^{\sin x}$。
4. 再计算$\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx$：
   • 把$Q(x)=e^{-\sin x}$和$e^{\int P(x)dx}=e^{\sin x}$代入可得$\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx=\int e^{-\sin x}\cdot e^{\sin x}dx$。
   • 根据指数运算法则$a^m\cdot a^n=a^{m + n}$，则$e^{-\sin x}\cdot e^{\sin x}=e^{-\sin x+\sin x}=e^0 = 1$。
   • 所以$\int e^{-\sin x}\cdot e^{\sin x}dx=\int 1dx$，根据积分公式$\int 1dx=x + C_2$（$C_2$为常数，在后续计算中可忽略），即$\int 1dx=x$。
5. 最后根据通解公式求通解：
   • 把$e^{-\int P(x)dx}=e^{-\sin x}$和$\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx=x$代入通解公式$y = e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C)$，可得$y = e^{-\sin x}(x + C)$。