23. (1.5分)计算int2xsqrt((x^2)+1)dx时，应选择的换元为（） A. t=x²+1 B. t=√x C. t=2x D. t=x³

本题考查换元积分法的应用，核心思路是寻找被积函数中的复合函数结构及其导数。观察被积函数$2x\sqrt{x^2+1}$，发现$x^2+1$的导数为$2x$，与被积函数中的$2x$完全匹配。因此，令$t = x^2 + 1$，可将原积分转化为关于$t$的简单积分。

关键步骤分析

1. 观察被积函数结构：被积函数为$2x\sqrt{x^2+1}$，包含复合函数$\sqrt{x^2+1}$及其导数$2x$。
2. 选择换元：设$t = x^2 + 1$，则$dt = 2x \, dx$，此时$2x \, dx$可直接替换为$dt$。
3. 简化积分：原积分变为$\int \sqrt{t} \, dt$，计算后回代$t = x^2 + 1$即可。

选项验证

• 选项A：$t = x^2 + 1$，符合上述分析，正确。
• 选项B：$t = \sqrt{x}$，导数为$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，无法匹配$2x$，错误。
• 选项C：$t = 2x$，导数为$2$，无法匹配$2x$与$\sqrt{x^2+1}$的组合，错误。
• 选项D：$t = x^3$，导数为$3x^2$，与被积函数无关，错误。