将一枚硬币重复投5次, 则正、反面都至少出现 2 次的概率 为________.

考查要点：本题主要考查二项分布的应用，以及组合数计算的能力。需要理解“至少出现2次”的条件限制，并转化为对正面次数的合理范围分析。

解题核心思路：

1. 确定总样本空间：5次独立抛硬币的总结果数为$2^5=32$。
2. 分析有效事件：正反面均至少出现2次，等价于正面次数$k$满足$2 \leq k \leq 3$（因为当$k=2$时反面为3次，$k=3$时反面为2次）。
3. 计算组合数：分别计算$k=2$和$k=3$的组合数，求和后除以总样本数。

破题关键点：

• 排除法：避免直接计算复杂条件，转而聚焦于正面次数的合理区间。
• 对称性：正反面出现次数的对称性简化了计算。

步骤1：计算总样本数
每次抛硬币有2种结果，5次抛硬币的总结果数为：
$2^5 = 32.$

步骤2：确定有效事件的正面次数范围
要求正反面均至少出现2次，即正面次数$k$需满足：
$2 \leq k \leq 3.$
（若$k=2$，反面为$5-2=3$次；若$k=3$，反面为$5-3=2$次。）

步骤3：计算有效事件数

• 当$k=2$时，组合数为：
  $C(5,2) = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = 10.$
• 当$k=3$时，组合数为：
  $C(5,3) = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10.$
• 有效事件总数为：
  $10 + 10 = 20.$

步骤4：计算概率
所求概率为有效事件数与总样本数的比值：
$\frac{20}{32} = \frac{5}{8}.$