3`.讨论函数 (x)=lim _(narrow infty )dfrac (1-{x)^2n}(1+{x)^2n}x 的连续性,若有间断点,判别其类型.

考查要点：本题主要考查极限函数的求解及分段函数连续性的判断，重点在于分析不同区间内$x^{2n}$的极限行为，并判断分界点处的间断类型。

解题核心思路：

1. 分区间讨论：根据$|x|$的不同取值范围（$|x|<1$，$|x|=1$，$|x|>1$），分别求出极限表达式。
2. 判断连续性：通过比较分界点$x=1$和$x=-1$处的左右极限与函数值，确定是否存在间断点及其类型。

破题关键点：

• 极限分析：当$|x|<1$时，$x^{2n} \to 0$；当$|x|=1$时，$x^{2n}=1$；当$|x|>1$时，$x^{2n} \to +\infty$。
• 间断类型判断：若分界点处左右极限存在但不相等，则为第一类间断点（跳跃间断点）。

分区间求极限表达式

当$|x| < 1$时

此时$x^{2n} \to 0$，因此：
$\lim_{n \to \infty} \frac{1 - x^{2n}}{1 + x^{2n}} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$
故$f(x) = x \cdot 1 = x$。

当$|x| = 1$时

此时$x^{2n} = 1$，因此：
$\frac{1 - x^{2n}}{1 + x^{2n}} = \frac{1 - 1}{1 + 1} = 0$
故$f(x) = x \cdot 0 = 0$。

当$|x| > 1$时

此时$x^{2n} \to +\infty$，分子分母同除以$x^{2n}$：
$\frac{1 - x^{2n}}{1 + x^{2n}} = \frac{\frac{1}{x^{2n}} - 1}{\frac{1}{x^{2n}} + 1} \to \frac{-1}{1} = -1$
故$f(x) = x \cdot (-1) = -x$。

判断连续性

分界点$x=1$处

• 左极限（$x \to 1^-$，$|x|<1$）：$f(x) \to 1$。
• 右极限（$x \to 1^+$，$|x|>1$）：$f(x) \to -1$。
• 函数值：$f(1) = 0$。
• 结论：左右极限存在但不相等，且均不等于函数值，故$x=1$为第一类间断点（跳跃间断点）。

分界点$x=-1$处

• 左极限（$x \to -1^-$，$|x|>1$）：$f(x) \to 1$。
• 右极限（$x \to -1^+$，$|x|<1$）：$f(x) \to -1$。
• 函数值：$f(-1) = 0$。
• 结论：左右极限存在但不相等，且均不等于函数值，故$x=-1$为第一类间断点（跳跃间断点）。