12.当x→0时，下列无穷小中最低阶的是（）A. 3^x^(3)-1.B. sqrt[3](1+x^2)-1.C. x^100+sin x.D. tan x-sin x.

考查要点：本题主要考查无穷小阶数的比较，需要利用泰勒展开或等价无穷小替换，找到各选项的主部，进而比较阶数。

解题核心思路：

1. 等价无穷小替换：将各选项中的函数展开或替换为等价形式，找到主部（即最高阶项）。
2. 比较阶数：主部的次数越高，阶数越低；反之，次数越低，阶数越高。需注意相加项中主部的确定。

破题关键点：

• 选项C的特殊性：$x^{100}$是高阶无穷小，但$\sin x$的主部为$x$，因此整体主部由$\sin x$决定。
• 选项D的展开：需展开$\tan x$和$\sin x$到足够高阶，才能确定主部。

选项分析

A. $3^{x^{3}} - 1$

• 等价替换：当$t \to 0$时，$a^t - 1 \sim t \ln a$。
• 主部：$3^{x^3} - 1 \sim x^3 \ln 3$，阶数为$3$。

B. $\sqrt[3]{1+x^{2}} - 1$

• 泰勒展开：$(1+x)^{\alpha} - 1 \sim \alpha x$（当$\alpha = \frac{1}{3}$，$x \to 0$）。
• 主部：$\sqrt[3]{1+x^2} - 1 \sim \frac{1}{3}x^2$，阶数为$2$。

C. $x^{100} + \sin x$

• 拆分项：$\sin x \sim x$，$x^{100}$是高阶无穷小。
• 主部：$x^{100} + \sin x \sim x$，阶数为$1$。

D. $\tan x - \sin x$

• 展开对比：
  • $\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \cdots$
  • $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \cdots$
  • 主部：$\tan x - \sin x \sim \frac{x^3}{2}$，阶数为$3$。