(单选题,5.0分)函数 =sqrt [3](dfrac {x)(y)} 在点1,1,1)处的全微分 = ()()-|||-刂dz=() ()-|||-A -dx-|||-B dy-dz-|||-C dx-dy-|||-D dx+dy-dz

步骤 1：计算偏导数
首先，我们需要计算函数 $u=\sqrt[3]{\dfrac{x}{y}}$ 在点 (1,1,1) 处的偏导数。偏导数表示函数在某一点处沿某一个变量方向的变化率。
- 对于 $x$ 的偏导数，我们有 $\dfrac{\partial u}{\partial x} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{y} \cdot \dfrac{1}{\sqrt[3]{\dfrac{x}{y}}^2} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{y} \cdot \dfrac{y^{2/3}}{x^{2/3}} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{y^{2/3}}{x^{2/3} \cdot y} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{x^{2/3} \cdot y^{1/3}}$。
- 对于 $y$ 的偏导数，我们有 $\dfrac{\partial u}{\partial y} = -\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{x}{y^2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt[3]{\dfrac{x}{y}}^2} = -\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{x}{y^2} \cdot \dfrac{y^{2/3}}{x^{2/3}} = -\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{x^{1/3}}{y^{4/3}}$。
步骤 2：计算全微分
全微分 $du$ 可以通过偏导数来计算，即 $du = \dfrac{\partial u}{\partial x} dx + \dfrac{\partial u}{\partial y} dy$。
- 在点 (1,1,1) 处，$x=1$，$y=1$，因此 $\dfrac{\partial u}{\partial x} = \dfrac{1}{3}$，$\dfrac{\partial u}{\partial y} = -\dfrac{1}{3}$。
- 因此，$du = \dfrac{1}{3} dx - \dfrac{1}{3} dy$。
步骤 3：选择正确答案
根据计算结果，$du = \dfrac{1}{3} dx - \dfrac{1}{3} dy$，与选项 C 相符。