题目
3.设A为 times n 矩阵,B是 times S 矩阵.若 =0, 则 (A)+R(B)leqslant n.
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义矩阵的秩
矩阵A的秩记为$R(A)$，表示矩阵A的列向量组的最大线性无关组的个数。同理，矩阵B的秩记为$R(B)$，表示矩阵B的列向量组的最大线性无关组的个数。
步骤 2：分析矩阵乘积为零的条件
已知$AB=0$，即矩阵A与矩阵B的乘积为零矩阵。这意味着矩阵A的列向量组与矩阵B的列向量组之间存在线性关系，即矩阵B的列向量组是矩阵A的零空间的子集。
步骤 3：利用矩阵的秩与零空间的关系
矩阵A的零空间的维数等于$n-R(A)$，其中$n$是矩阵A的列数。由于矩阵B的列向量组是矩阵A的零空间的子集，所以矩阵B的列向量组的秩$R(B)$不会超过矩阵A的零空间的维数，即$R(B)\leqslant n-R(A)$。
步骤 4：推导结论
根据步骤3的结论，我们有$R(B)\leqslant n-R(A)$。将这个不等式两边同时加上$R(A)$，得到$R(A)+R(B)\leqslant n$。
矩阵A的秩记为$R(A)$，表示矩阵A的列向量组的最大线性无关组的个数。同理，矩阵B的秩记为$R(B)$，表示矩阵B的列向量组的最大线性无关组的个数。
步骤 2：分析矩阵乘积为零的条件
已知$AB=0$，即矩阵A与矩阵B的乘积为零矩阵。这意味着矩阵A的列向量组与矩阵B的列向量组之间存在线性关系，即矩阵B的列向量组是矩阵A的零空间的子集。
步骤 3：利用矩阵的秩与零空间的关系
矩阵A的零空间的维数等于$n-R(A)$，其中$n$是矩阵A的列数。由于矩阵B的列向量组是矩阵A的零空间的子集，所以矩阵B的列向量组的秩$R(B)$不会超过矩阵A的零空间的维数，即$R(B)\leqslant n-R(A)$。
步骤 4：推导结论
根据步骤3的结论，我们有$R(B)\leqslant n-R(A)$。将这个不等式两边同时加上$R(A)$，得到$R(A)+R(B)\leqslant n$。