题目
11. (10.0分) 1、计算二重积分 iintlimits_(D)(y^2)/(x^2)dsigma，其中D是由y=x，y=2以及xy=1所围成的区域.
11. (10.0分) 1、计算二重积分 $\iint\limits_{D}\frac{y^{2}}{x^{2}}d\sigma$，其中D是由y=x，y=2以及xy=1所围成的区域.
题目解答
答案
1. **确定积分区域**：
区域 $D$ 由 $y = x$，$y = 2$，和 $xy = 1$ 围成。交点为 $(1,1)$，$\left(\frac{1}{2},2\right)$，和 $(2,2)$。
对于 $1 \leq y \leq 2$，$x$ 的范围为 $\frac{1}{y} \leq x \leq y$。
2. **设置二重积分**：
\[
\iint\limits_{D} \frac{y^2}{x^2} \, d\sigma = \int_{1}^{2} \int_{\frac{1}{y}}^{y} \frac{y^2}{x^2} \, dx \, dy
\]
3. **计算内积分**：
\[
\int_{\frac{1}{y}}^{y} \frac{y^2}{x^2} \, dx = y^2 \left[ -\frac{1}{x} \right]_{\frac{1}{y}}^{y} = y^3 - y
\]
4. **计算外积分**：
\[
\int_{1}^{2} (y^3 - y) \, dy = \left[ \frac{y^4}{4} - \frac{y^2}{2} \right]_{1}^{2} = \frac{9}{4}
\]
**答案**：
\[
\boxed{\frac{9}{4}}
\]
解析
步骤 1：确定积分区域
区域 $D$ 由 $y = x$，$y = 2$，和 $xy = 1$ 围成。交点为 $(1,1)$，$\left(\frac{1}{2},2\right)$，和 $(2,2)$。 对于 $1 \leq y \leq 2$，$x$ 的范围为 $\frac{1}{y} \leq x \leq y$。
步骤 2：设置二重积分
\[ \iint\limits_{D} \frac{y^2}{x^2} \, d\sigma = \int_{1}^{2} \int_{\frac{1}{y}}^{y} \frac{y^2}{x^2} \, dx \, dy \]
步骤 3：计算内积分
\[ \int_{\frac{1}{y}}^{y} \frac{y^2}{x^2} \, dx = y^2 \left[ -\frac{1}{x} \right]_{\frac{1}{y}}^{y} = y^3 - y \]
步骤 4：计算外积分
\[ \int_{1}^{2} (y^3 - y) \, dy = \left[ \frac{y^4}{4} - \frac{y^2}{2} \right]_{1}^{2} = \frac{9}{4} \]
区域 $D$ 由 $y = x$，$y = 2$，和 $xy = 1$ 围成。交点为 $(1,1)$，$\left(\frac{1}{2},2\right)$，和 $(2,2)$。 对于 $1 \leq y \leq 2$，$x$ 的范围为 $\frac{1}{y} \leq x \leq y$。
步骤 2：设置二重积分
\[ \iint\limits_{D} \frac{y^2}{x^2} \, d\sigma = \int_{1}^{2} \int_{\frac{1}{y}}^{y} \frac{y^2}{x^2} \, dx \, dy \]
步骤 3：计算内积分
\[ \int_{\frac{1}{y}}^{y} \frac{y^2}{x^2} \, dx = y^2 \left[ -\frac{1}{x} \right]_{\frac{1}{y}}^{y} = y^3 - y \]
步骤 4：计算外积分
\[ \int_{1}^{2} (y^3 - y) \, dy = \left[ \frac{y^4}{4} - \frac{y^2}{2} \right]_{1}^{2} = \frac{9}{4} \]