要使函数 f(x)= cos x 是随机变量 X 的密度函数，则 X 的取值区间必须是(）。 A. [-(pi)/(2), 0]B. [(pi)/(2), pi]C. [0, pi]D. [-(pi)/(4), (pi)/(4)]

为了确定函数 $ f(x) = \cos x $ 可以作为随机变量 $ X $ 的密度函数的区间，我们需要确保 $ f(x) $ 在该区间上满足两个条件： 1. $ f(x) \geq 0 $ 对于区间内的所有 $ x $。 2. $ f(x) $ 在区间上的积分等于1。 让我们逐步分析每个选项。 **选项A: $[- \frac{\pi}{2}, 0]$** 1. 检查 $ f(x) = \cos x \geq 0 $ 是否对于 $ x \in [- \frac{\pi}{2}, 0] $ 成立： - $ \cos(-\frac{\pi}{2}) = 0 $ - $ \cos(0) = 1 $ - 对于 $ x \in [- \frac{\pi}{2}, 0] $，$ \cos x $ 是非负的。 2. 计算 $ f(x) $ 在 $[- \frac{\pi}{2}, 0]$ 上的积分： \[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \cos x \, dx = \sin x \bigg|_{-\frac{\pi}{2}}^{0} = \sin(0) - \sin(-\frac{\pi}{2}) = 0 + 1 = 1 \] 积分等于1。 由于两个条件都满足，选项A是一个有效的区间。 **选项B: $[\frac{\pi}{2}, \pi]$** 1. 检查 $ f(x) = \cos x \geq 0 $ 是否对于 $ x \in [\frac{\pi}{2}, \pi] $ 成立： - $ \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $ - $ \cos(\pi) = -1 $ - 对于 $ x \in [\frac{\pi}{2}, \pi] $，$ \cos x $ 是非正的，而不是非负的。 由于第一个条件不满足，选项B不是一个有效的区间。 **选项C: $[0, \pi]$** 1. 检查 $ f(x) = \cos x \geq 0 $ 是否对于 $ x \in [0, \pi] $ 成立： - $ \cos(0) = 1 $ - $ \cos(\pi) = -1 $ - 对于 $ x \in [0, \pi] $，$ \cos x $ 并非总是非负的。 由于第一个条件不满足，选项C不是一个有效的区间。 **选项D: $[- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$** 1. 检查 $ f(x) = \cos x \geq 0 $ 是否对于 $ x \in [- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}] $ 成立： - $ \cos(-\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ - $ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ - 对于 $ x \in [- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}] $，$ \cos x $ 是非负的。 2. 计算 $ f(x) $ 在 $[- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ 上的积分： \[ \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \cos x \, dx = \sin x \bigg|_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} = \sin(\frac{\pi}{4}) - \sin(-\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \] 积分不等于1。 由于第二个条件不满足，选项D不是一个有效的区间。 因此，正确答案是 $\boxed{A}$。