下列级数中，发散的是(）。 A. sum_(n=1)^infty ((n)/(2n+1) )^nB. sum_(n=1)^infty (1)/([ln(n+1)]^n)C. sum_(n=1)^infty ((2)/(1+(1/n)) )^nD. sum_(n=1)^infty ((n)/(3n-1) )^2n-1

为了确定哪个级数发散，我们将使用根值审敛法，该方法指出，对于级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$，如果 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = L$，那么如果 $L < 1$，级数收敛；如果 $L > 1$，级数发散；如果 $L = 1$，测试不决。 让我们分析每个级数： **级数 A: $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n}{2n+1}\right)^n$** 使用根值审敛法，我们有： \[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left(\frac{n}{2n+1}\right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2 + \frac{1}{n}} = \frac{1}{2} \] 由于 $\frac{1}{2} < 1$，级数收敛。 **级数 B: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{[\ln(n+1)]^n}$** 使用根值审敛法，我们有： \[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{[\ln(n+1)]^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\ln(n+1)} = 0 \] 由于 $0 < 1$，级数收敛。 **级数 C: $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2}{1 + \frac{1}{n}}\right)^n$** 使用根值审敛法，我们有： \[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left(\frac{2}{1 + \frac{1}{n}}\right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{1 + \frac{1}{n}} = \frac{2}{1} = 2 \] 由于 $2 > 1$，级数发散。 **级数 D: $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n}{3n-1}\right)^{2n-1}$** 使用根值审敛法，我们有： \[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left(\frac{n}{3n-1}\right)^{2n-1}} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{3n-1}\right)^{\frac{2n-1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{3n-1}\right)^{2 - \frac{1}{n}} = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} \] 由于 $\frac{1}{9} < 1$，级数收敛。 因此，发散的级数是 $\boxed{C}$。