题目

求过两点_(1)(3,-2,1) 和 _(2)(-1,0,2)的直线方程。

求过两点 $M_1(3,-2,1)和M_2(-1,0,2)$ 的直线方程。

题目解答

解：

∵ $M_1(3,-2,1)和M_2(-1,0,2)$ ，

设直线的参数方程为：

$\begin{cases} x=x_1+(x_2-x_1)t\\ y=y_1+(y_2-y_1)t\\ z=z_1+(z_2-z_1)t \end{cases}$

将 $M_1和M_2$ 的坐标代入上式，得：

$\begin{cases} x=3+(-1-3)t\\ y=-2+(0+2)t\\ z=1+(2-1)t \end{cases}$

化简后即可得到：

$\begin{cases} x=3-4t\\ y=-2+2t\\ z=1+t \end{cases}$

∴将上式改写对称式的直线方程：

$\frac{x-3}{-4}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-1}{1}$

∴本题答案的直线方程是：

$\frac{x-3}{-4}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-1}{1}$

考查要点：本题主要考查空间直线方程的求解方法，特别是已知两点坐标时如何确定直线的对称式方程。

解题核心思路：

破题关键点：

步骤1：计算方向向量

两点$M_1(3,-2,1)$和$M_2(-1,0,2)$的方向向量$\vec{d}$为：
$\vec{d} = M_2 - M_1 = (-1-3, 0-(-2), 2-1) = (-4, 2, 1)$

步骤2：选择基点并写出对称式方程

选择$M_1(3,-2,1)$作为基点，代入对称式方程的标准形式：
$\frac{x - 3}{-4} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 1}{1}$