1 0 2-|||-4.(13分)已知矩阵A= 0 3 0 o-|||-3-|||-2 0 1-|||-(1)求矩阵A的特征值与特征向量;-|||-(2)问矩阵A能否对角化?若不能,说明理由.若能,写出相应.的可逆矩阵-|||-P和对角阵A,使得 ^-1AP=A.

步骤 1：求矩阵A的特征值
为了求矩阵A的特征值，我们需要解特征方程 $det(A - \lambda I) = 0$，其中I是单位矩阵，$\lambda$是特征值。
$det(A - \lambda I) = det\left (\begin{matrix} 1-\lambda & 0 & 2\\ 0 & 3-\lambda & 0\\ 2 & 0 & 1-\lambda\end{matrix} ) \right.$
$= (1-\lambda)((3-\lambda)(1-\lambda) - 0) - 0 + 2(0 - 2(3-\lambda))$
$= (1-\lambda)(3-\lambda)(1-\lambda) - 4(3-\lambda)$
$= (1-\lambda)^2(3-\lambda) - 4(3-\lambda)$
$= (3-\lambda)((1-\lambda)^2 - 4)$
$= (3-\lambda)(\lambda^2 - 2\lambda - 3)$
$= (3-\lambda)(\lambda - 3)(\lambda + 1)$
因此，特征值为 $\lambda_1 = \lambda_2 = 3$ 和 $\lambda_3 = -1$。

步骤 2：求矩阵A的特征向量
对于每个特征值，我们需要求解方程 $(A - \lambda I)X = 0$，其中X是特征向量。
对于 $\lambda_1 = \lambda_2 = 3$：
$(A - 3I)X = \left (\begin{matrix} -2 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0\\ 2 & 0 & -2\end{matrix} ) \right.$
$X = \left (\begin{matrix} x_1\\ x_2\\ x_3\end{matrix} ) \right.$
$-2x_1 + 2x_3 = 0$
$2x_1 - 2x_3 = 0$
$x_1 = x_3$
$x_2$ 可以是任意值。
因此，特征向量为 $\left (\begin{matrix} 1\\ 0\\ 1\end{matrix} ) \right.$ 和 $\left (\begin{matrix} 0\\ 1\\ 0\end{matrix} ) \right.$。
对于 $\lambda_3 = -1$：
$(A + I)X = \left (\begin{matrix} 2 & 0 & 2\\ 0 & 4 & 0\\ 2 & 0 & 2\end{matrix} ) \right.$
$X = \left (\begin{matrix} x_1\\ x_2\\ x_3\end{matrix} ) \right.$
$2x_1 + 2x_3 = 0$
$4x_2 = 0$
$2x_1 + 2x_3 = 0$
$x_1 = -x_3$
$x_2 = 0$
因此，特征向量为 $\left (\begin{matrix} 1\\ 0\\ -1\end{matrix} ) \right.$。

步骤 3：判断矩阵A是否可以对角化
矩阵A可以对角化当且仅当它有n个线性无关的特征向量，其中n是矩阵的阶数。
由于矩阵A有3个线性无关的特征向量，因此矩阵A可以对角化。