题目
2.当 arrow 0 时,x^4为 (int )_(0)^(x^2)ln (1+sin t)dt 的 () 无穷小.-|||-(A)高阶 (B)低阶 (C)同阶但不等价 (D)等价
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定无穷小的阶数
为了确定x^4与${\int }_{0}^{{x}^{2}}\ln (1+\sin t)dt$的阶数关系，我们需要计算这个积分的极限值，当x→0时，这个积分的值与x^4的值进行比较。
步骤 2：使用洛必达法则
由于直接计算这个积分的极限比较困难，我们可以使用洛必达法则来简化计算。洛必达法则适用于求解形如0/0或∞/∞的极限问题。这里，我们考虑极限$\lim_{x \to 0} \frac{{\int }_{0}^{{x}^{2}}\ln (1+\sin t)dt}{x^4}$。
步骤 3：应用洛必达法则
根据洛必达法则，我们对分子和分母分别求导，得到$\lim_{x \to 0} \frac{2x\ln(1+\sin(x^2))}{4x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+\sin(x^2))}{2x^2}$。由于$\sin(x^2)$在x→0时与$x^2$是等价无穷小，我们可以进一步简化为$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x^2)}{2x^2}$。再应用一次洛必达法则，得到$\lim_{x \to 0} \frac{2x}{4x} = \frac{1}{2}$。这表明${\int }_{0}^{{x}^{2}}\ln (1+\sin t)dt$与x^4是同阶无穷小，但不等价。
为了确定x^4与${\int }_{0}^{{x}^{2}}\ln (1+\sin t)dt$的阶数关系，我们需要计算这个积分的极限值，当x→0时，这个积分的值与x^4的值进行比较。
步骤 2：使用洛必达法则
由于直接计算这个积分的极限比较困难，我们可以使用洛必达法则来简化计算。洛必达法则适用于求解形如0/0或∞/∞的极限问题。这里，我们考虑极限$\lim_{x \to 0} \frac{{\int }_{0}^{{x}^{2}}\ln (1+\sin t)dt}{x^4}$。
步骤 3：应用洛必达法则
根据洛必达法则，我们对分子和分母分别求导，得到$\lim_{x \to 0} \frac{2x\ln(1+\sin(x^2))}{4x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+\sin(x^2))}{2x^2}$。由于$\sin(x^2)$在x→0时与$x^2$是等价无穷小，我们可以进一步简化为$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x^2)}{2x^2}$。再应用一次洛必达法则，得到$\lim_{x \to 0} \frac{2x}{4x} = \frac{1}{2}$。这表明${\int }_{0}^{{x}^{2}}\ln (1+\sin t)dt$与x^4是同阶无穷小，但不等价。