8. =(1+(x)^2)arctan x;

考查要点：本题主要考查乘积法则的应用以及基本导数公式的记忆，特别是$\arctan x$的导数。

解题核心思路：
题目中的函数是两个函数的乘积形式$(1+x^2) \cdot \arctan x$，因此需要使用乘积法则（即导数的四则运算法则中的乘法规则）。
关键点在于正确求出两个因子的导数，并代入公式计算。

破题关键点：

1. 乘积法则：若$y = u(x) \cdot v(x)$，则$y' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$。
2. 基本导数公式：
   • $(1+x^2)' = 2x$
   • $(\arctan x)' = \dfrac{1}{1+x^2}$

步骤1：确定两个因子
设$u(x) = 1+x^2$，$v(x) = \arctan x$，则$y = u(x) \cdot v(x)$。

步骤2：分别求导

• $u'(x) = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(1+x^2) = 2x$
• $v'(x) = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\arctan x) = \dfrac{1}{1+x^2}$

步骤3：应用乘积法则
根据乘积法则：
$y' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 2x \cdot \arctan x + (1+x^2) \cdot \dfrac{1}{1+x^2}$

步骤4：化简表达式
第二项中$(1+x^2)$与分母$(1+x^2)$约分后为$1$，因此：
$y' = 2x \arctan x + 1$

最终结果：
$y' = 1 + 2x \arctan x$