若sin2α=(sqrt(5))/(5)，sin（β-α）=(sqrt(10))/(10)，且α∈[(π)/(4)，π]，β∈[π，(3π)/(2)]，则α+β的值是（ ）A. (7π)/(4)B. (9π)/(4)C. (5π)/(4)或(7π)/(4)D. (5π)/(4)或(9π)/(4)

考查要点：本题主要考查三角函数的恒等变换、角度范围的确定以及余弦加法公式的应用。

解题核心思路：

1. 确定角度范围：根据已知条件和角度范围，确定2α和β-α的范围，进而确定cos2α和cos(β-α)的符号。
2. 应用余弦加法公式：将α+β表示为2α+(β-α)，利用余弦加法公式展开并计算。
3. 结合范围确定唯一解：通过角度范围排除不符合的选项，确定最终结果。

破题关键点：

• 角度范围分析：通过sin2α的值和范围确定2α的具体区间，从而得到α的范围。
• 符号判断：根据角度所在象限确定cos2α和cos(β-α)的符号。
• 余弦值与角度对应关系：根据cos(α+β)=√2/2，结合α+β的范围确定唯一解。

步骤1：确定2α的范围及cos2α的值

• 已知α∈[π/4, π]，则2α∈[π/2, 2π]。
• sin2α=√5/5>0且小于1/2，说明2α在第二象限（π/2到π），即2α∈(5π/6, π)，对应α∈(5π/12, π/2)。
• 计算cos2α：
  $\cos2α = -\sqrt{1 - \sin^2 2α} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}.$

步骤2：确定β-α的范围及cos(β-α)的值

• β∈[π, 3π/2]，α∈(5π/12, π/2)，则β-α∈(π/2, 13π/12)。
• sin(β-α)=√10/10>0，说明β-α在第二象限（π/2到π），故cos(β-α)为负：
  $\cos(β-α) = -\sqrt{1 - \sin^2 (β-α)} = -\frac{3\sqrt{10}}{10}.$

步骤3：计算cos(α+β)

将α+β表示为2α+(β-α)，应用余弦加法公式：
$\begin{aligned}\cos(α+β) &= \cos[2α + (β-α)] \\&= \cos2α \cos(β-α) - \sin2α \sin(β-α) \\&= \left(-\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)\left(-\frac{3\sqrt{10}}{10}\right) - \left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)\left(\frac{\sqrt{10}}{10}\right) \\&= \frac{\sqrt{2}}{2}.\end{aligned}$

步骤4：确定α+β的具体值

• cos(α+β)=√2/2对应的角度为7π/4或π/4。
• 结合α∈(5π/12, π/2)和β∈[π, 3π/2]，α+β∈(17π/12, 2π)，排除π/4，故α+β=7π/4。