设参数为lambda指数分布的密度函数为f(x)=} lambda e^-lambda x, & x geq 0 0, & x A. 1/2B. 2/5C. 3/5D. 1

考查要点：本题主要考查指数分布的性质以及两个独立随机变量的概率计算，特别是利用联合概率密度函数求解事件概率的能力。

解题核心思路：

1. 指数分布的独立性：由于X和Y独立，联合概率密度为各自密度函数的乘积。
2. 事件概率的积分表达式：通过双重积分计算$P(X < Y)$，积分区域为$x < y$的区域。
3. 简化计算技巧：利用指数函数的积分性质，将二重积分转化为单重积分，最终得到简洁的表达式。

破题关键点：

• 公式记忆：对于两个独立指数分布随机变量$X \sim \text{Exp}(\lambda)$和$Y \sim \text{Exp}(\mu)$，有$P(X < Y) = \frac{\lambda}{\lambda + \mu}$。
• 推导验证：若不熟悉公式，可通过二重积分直接计算，关键步骤是交换积分顺序或分步积分。

步骤1：写出联合概率密度函数
由于$X$和$Y$独立，联合概率密度为：
$f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y) = \begin{cases} 2e^{-2x} \cdot 3e^{-3y}, & x \geq 0, y \geq 0 \\0, & \text{其他情况}\end{cases}$

步骤2：建立二重积分表达式
事件$X < Y$的概率为：
$P(X < Y) = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{y} f_X(x) f_Y(y) \, dx \, dy$

步骤3：交换积分顺序简化计算
将积分顺序交换为先对$y$积分，再对$x$积分：
$P(X < Y) = \int_{0}^{\infty} \int_{x}^{\infty} 2e^{-2x} \cdot 3e^{-3y} \, dy \, dx$

步骤4：计算内层积分
对$y$积分：
$\int_{x}^{\infty} 3e^{-3y} \, dy = 3 \cdot \left[ -\frac{1}{3} e^{-3y} \right]_{x}^{\infty} = e^{-3x}$

步骤5：计算外层积分
代入外层积分：
$\int_{0}^{\infty} 2e^{-2x} \cdot e^{-3x} \, dx = 2 \int_{0}^{\infty} e^{-5x} \, dx = 2 \cdot \left[ -\frac{1}{5} e^{-5x} \right]_{0}^{\infty} = \frac{2}{5}$

结论：
最终结果为$\frac{2}{5}$，对应选项B。