判断向量组 alpha_1 = (2,1,-1)^T, alpha_2 = (0,2,1)^T, alpha_3 = (-2,3,0)^T的线性相关性。 A. 线性相关B. 可相关也可无关C. 线性无关D. 无法确定

考查要点：本题主要考查向量组线性相关性的判断方法，核心是通过矩阵的行列式或秩来判断三个三维向量是否线性相关。

解题思路：对于三个三维向量组成的矩阵，若其行列式不为零，则向量组线性无关；若行列式为零，则线性相关。此外，通过行变换将矩阵化为阶梯形，若秩为3，则线性无关。

关键点：正确构造矩阵并计算行列式或通过行变换判断秩。

构造矩阵 $A = [\alpha_1 \ \alpha_2 \ \alpha_3]$：
$A = \begin{pmatrix}2 & 0 & -2 \\1 & 2 & 3 \\-1 & 1 & 0\end{pmatrix}$

方法一：计算行列式

行列式展开：
$\begin{aligned}\det(A) &= 2 \cdot (2 \cdot 0 - 3 \cdot 1) - 0 \cdot (1 \cdot 0 - (-1) \cdot 3) + (-2) \cdot (1 \cdot 1 - 2 \cdot (-1)) \\&= 2 \cdot (-3) + 0 + (-2) \cdot 3 \\&= -6 -6 = -12 \neq 0\end{aligned}$
结论：行列式非零，向量组线性无关。

方法二：行变换化阶梯形

1. 初始矩阵：
   $\begin{pmatrix}2 & 0 & -2 \\1 & 2 & 3 \\-1 & 1 & 0\end{pmatrix}$

2. 第二行减去 $0.5$ 倍第一行，第三行加上 $0.5$ 倍第一行：
   $\begin{pmatrix}2 & 0 & -2 \\0 & 2 & 4 \\0 & 1 & -1\end{pmatrix}$

3. 第三行减去 $0.5$ 倍第二行：
   $\begin{pmatrix}2 & 0 & -2 \\0 & 2 & 4 \\0 & 0 & -3\end{pmatrix}$

结论：阶梯形矩阵有3个非零行，秩为3，向量组线性无关。