题目
判别级数sum _(n=1)^infty dfrac ({(-1))^n}(sqrt {2n(n+1))}的敛散性（）；A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.无法判断
判别级数
的敛散性（）；
A.条件收敛
B.绝对收敛
C.发散
D.无法判断
题目解答
答案
首先判断级数
的敛散性，也就是判断正项级数
的敛散性，已知调和级数
发散，设
，
，则
，即
，则正项级数与调和级数同敛散，即正项级数发散，也就是级数发散，因此可排除B选项绝对收敛，但还需证交错级数的敛散性，而交错级数
满足莱布尼茨判别法的两个条件（a）
；（b）
，即交错级数收敛，综上可知，级数条件收敛，选A。
解析
步骤 1：判断级数$\sum _{n=1}^{\infty }|\dfrac {{(-1)}^{n}}{\sqrt {2n(n+1)}}|$的敛散性
首先，我们考虑级数$\sum _{n=1}^{\infty }|\dfrac {{(-1)}^{n}}{\sqrt {2n(n+1)}}|$，即$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{\sqrt {2n(n+1)}}$的敛散性。这相当于判断正项级数$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{\sqrt {2n(n+1)}}$的敛散性。
步骤 2：使用比较判别法
我们已知调和级数$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n}$是发散的。设${a}_{n}=\dfrac {1}{\sqrt {2n(n+1)}}$，我们比较${a}_{n}$与$\dfrac {1}{n}$的极限比值：
$$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {\dfrac {1}{\sqrt {2n(n+1)}}}{\dfrac {1}{n}}=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {n}{\sqrt {2n(n+1)}}=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {n}{\sqrt {2n^2+2n}}=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1}{\sqrt {2+\dfrac {2}{n}}}=\dfrac {1}{\sqrt {2}}$$
由于$0\lt \dfrac {1}{\sqrt {2}}\lt +\infty$，根据比较判别法，正项级数$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{\sqrt {2n(n+1)}}$与调和级数$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n}$同敛散，即正项级数发散。
步骤 3：判断交错级数$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {{(-1)}^{n}}{\sqrt {2n(n+1)}}$的敛散性
由于$\sum _{n=1}^{\infty }|\dfrac {{(-1)}^{n}}{\sqrt {2n(n+1)}}|$发散，级数$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {{(-1)}^{n}}{\sqrt {2n(n+1)}}$不绝对收敛。接下来，我们判断交错级数$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {{(-1)}^{n}}{\sqrt {2n(n+1)}}$的敛散性。根据莱布尼茨判别法，如果交错级数$\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}{u}_{n}$满足以下两个条件：
（a）${u}_{n}=\dfrac {1}{\sqrt {2n(n+1)}}\gt {u}_{n+1}=\dfrac {1}{\sqrt {2(n+1)(n+2)}}(n=1,2,\cdots )$；
（b）$\lim _{n\rightarrow \infty }{u}_{n}=\dfrac {1}{\sqrt {2n(n+1)}}=0$，
则交错级数$\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}{u}_{n}$收敛。显然，上述条件均满足，因此交错级数$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {{(-1)}^{n}}{\sqrt {2n(n+1)}}$收敛。
首先，我们考虑级数$\sum _{n=1}^{\infty }|\dfrac {{(-1)}^{n}}{\sqrt {2n(n+1)}}|$，即$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{\sqrt {2n(n+1)}}$的敛散性。这相当于判断正项级数$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{\sqrt {2n(n+1)}}$的敛散性。
步骤 2：使用比较判别法
我们已知调和级数$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n}$是发散的。设${a}_{n}=\dfrac {1}{\sqrt {2n(n+1)}}$，我们比较${a}_{n}$与$\dfrac {1}{n}$的极限比值：
$$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {\dfrac {1}{\sqrt {2n(n+1)}}}{\dfrac {1}{n}}=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {n}{\sqrt {2n(n+1)}}=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {n}{\sqrt {2n^2+2n}}=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1}{\sqrt {2+\dfrac {2}{n}}}=\dfrac {1}{\sqrt {2}}$$
由于$0\lt \dfrac {1}{\sqrt {2}}\lt +\infty$，根据比较判别法，正项级数$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{\sqrt {2n(n+1)}}$与调和级数$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n}$同敛散，即正项级数发散。
步骤 3：判断交错级数$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {{(-1)}^{n}}{\sqrt {2n(n+1)}}$的敛散性
由于$\sum _{n=1}^{\infty }|\dfrac {{(-1)}^{n}}{\sqrt {2n(n+1)}}|$发散，级数$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {{(-1)}^{n}}{\sqrt {2n(n+1)}}$不绝对收敛。接下来，我们判断交错级数$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {{(-1)}^{n}}{\sqrt {2n(n+1)}}$的敛散性。根据莱布尼茨判别法，如果交错级数$\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}{u}_{n}$满足以下两个条件：
（a）${u}_{n}=\dfrac {1}{\sqrt {2n(n+1)}}\gt {u}_{n+1}=\dfrac {1}{\sqrt {2(n+1)(n+2)}}(n=1,2,\cdots )$；
（b）$\lim _{n\rightarrow \infty }{u}_{n}=\dfrac {1}{\sqrt {2n(n+1)}}=0$，
则交错级数$\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}{u}_{n}$收敛。显然，上述条件均满足，因此交错级数$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {{(-1)}^{n}}{\sqrt {2n(n+1)}}$收敛。