填空题.（1）排列1324的逆序数为____，它的奇偶性是____排列.（2）排列54321的逆序数为____，它的奇偶性是____排列.（3）1~6的排列15i64j为偶排列，则i=____，j=____.（4）n阶行列式D_n中为0的元素的个数超过n^2-n个，则D_n=____

我们逐题分析并解答这道填空题，每一步都给出详细的中文解题过程。

（1）排列 1324 的逆序数为____，它的奇偶性是____排列。

解题过程：

逆序数是指在一个排列中，前面的数比后面的数大，这样的数对称为一个逆序。我们将所有逆序对的个数加起来，就是逆序数。

排列是：1 3 2 4

我们逐个看每个数后面比它小的数的个数：

• 第1个数：1，后面的数是 3, 2, 4，都比1大 → 逆序数为 0
• 第2个数：3，后面的数是 2, 4
  • 3 > 2 → 有一个逆序
  • 3 < 4 → 无
    → 逆序数为 1
• 第3个数：2，后面的数是 4，2 < 4 → 无逆序
• 第4个数：4，后面无数 → 0

所以总逆序数 = 0 + 1 + 0 + 0 = 1

逆序数为1，是奇数，因此这是一个奇排列。

> 注：逆序数为奇数 → 奇排列；为偶数 → 偶排列。

答案：
逆序数为 1，奇偶性是 奇 排列。

（2）排列 54321 的逆序数为____，它的奇偶性是____排列。

解题过程：

排列：5 4 3 2 1

我们看每个数后面比它小的数的个数：

• 第1个数：5，后面是 4,3,2,1 → 都比5小 → 4个逆序
• 第2个数：4，后面是 3,2,1 → 都比4小 → 3个逆序
• 第3个数：3，后面是 2,1 → 都比3小 → 2个逆序
• 第4个数：2，后面是 1 → 比2小 → 1个逆序
• 第5个数：1，后面无数 → 0

总逆序数 = 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 10

10 是偶数，因此是偶排列。

答案：
逆序数为 10，奇偶性是 偶 排列。

（3）1~6的排列 $15i64j$ 为偶排列，则 $i=$____，$j=$____。

解题过程：

已知这是一个 1 到 6 的排列，形式为：1 5 i 6 4 j

也就是说，六个数字是 1,2,3,4,5,6 的一个排列，其中已知位置：

• 第1位：1
• 第2位：5
• 第3位：i（未知）
• 第4位：6
• 第5位：4
• 第6位：j（未知）

所以，i 和 j 是从 {2,3} 中选出的两个不同数字，因为 1,4,5,6 已经出现，剩下的是 2 和 3。

所以可能的情况有两种：

• 情况1：i=2，j=3 → 排列为 1 5 2 6 4 3
• 情况2：i=3，j=2 → 排列为 1 5 3 6 4 2

我们要判断哪种情况下，排列是偶排列（即逆序数为偶数）。

先试情况1：排列为 1 5 2 6 4 3

计算逆序数：

逐个看每个数后面比它小的数：

• 1：后面 5,2,6,4,3 → 都比1大 → 0 逆序
• 5：后面 2,6,4,3 → 比5小的有：2,4,3 → 3个逆序
• 2：后面 6,4,3 → 都比2大？6>2, 4>2, 3>2 → 都大？不，3>2，但 3>2 不构成逆序，逆序是前面数大于后面数。
  2 < 6, 2 < 4, 2 < 3 → 都小 → 0 逆序
• 6：后面 4,3 → 6>4, 6>3 → 2个逆序
• 4：后面 3 → 4>3 → 1个逆序
• 3：后面无数 → 0

总逆序数 = 0 + 3 + 0 + 2 + 1 + 0 = 6 → 偶数 → 偶排列 ✅

情况2：排列为 1 5 3 6 4 2

计算逆序数：

• 1：后面都大 → 0
• 5：后面 3,6,4,2 → 比5小的：3,4,2 → 3个逆序
• 3：后面 6,4,2 → 比3小的：2 → 1个逆序（3>2）
• 6：后面 4,2 → 6>4, 6>2 → 2个逆序
• 4：后面 2 → 4>2 → 1个逆序
• 2：0

总逆序数 = 0 + 3 + 1 + 2 + 1 + 0 = 7 → 奇数 → 奇排列 ❌

题目要求是偶排列，所以只有情况1成立。

即：i = 2，j = 3

答案：
i = 2，j = 3

（4）n阶行列式 $D_n$ 中为0的元素的个数超过 $n^2 - n$ 个，则 $D_n =$ ____

解题过程：

n阶行列式有 $n^2$ 个元素。

题目说：为0的元素个数超过 $n^2 - n$ 个

即：零元素个数 > $n^2 - n$

那么非零元素个数 < $n^2 - (n^2 - n) = n$

也就是说：非零元素少于 n 个

而行列式的展开式中，每一项是不同行不同列的 n 个元素的乘积。

每一项需要从 n 行中各选一个元素，且列互不相同。

所以每一项对应一个排列，乘积为 $a_{1j_1} a_{2j_2} \cdots a_{nj_n}$

但关键点是：每一项需要 n 个非零元素，且位于不同行不同列。

但现在整个矩阵中，非零元素少于 n 个。

那么，不可能选出 n 个位于不同行不同列的非零元素（因为总共都没 n 个非零元素）。

因此，行列式的展开中，每一项都至少包含一个零元素 → 每一项乘积为0

所以整个行列式 $D_n = 0$

答案：
$D_n = \boxed{0}$

最终答案汇总：

（1）排列1324的逆序数为 1，它的奇偶性是 奇 排列。
（2）排列54321的逆序数为 10，它的奇偶性是 偶 排列。
（3）1~6的排列 $15i64j$ 为偶排列，则 $i=$ 2，$j=$ 3。
（4）$n$阶行列式$D_n$中为0的元素的个数超过$n^2-n$个，则$D_n=$ 0

✅ 最终答案：

$\boxed{ \begin{aligned}&（1）\ 1,\ 奇 \\&（2）\ 10,\ 偶 \\&（3）\ i=2,\ j=3 \\&（4）\ 0\end{aligned} }$