19.(17分)甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分、负者得0分.设每个球甲胜的概率为p((1)/(2)<1)，乙胜的概率为q，p+q=1，且各球的胜负相互独立，对正整数k≥2，记p_(k)为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，q_(k)为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率.(1)求p_(3)，p_(4)(用p表示)；(2)若(p_(4)-p_(3))/(q_(4)-q_{3)}=4，求p；(3)证明：对任意正整数m，p_(2m+1)-q_(2m+1)

考查要点：本题主要考查独立重复试验中的概率计算、递推关系及不等式证明，涉及二项分布的应用和对称性分析。

解题思路：

1. 第（1）题：通过列举满足条件的得分情况，直接计算概率。注意甲至少多2分的条件限制，需明确可能的得分组合。
2. 第（2）题：利用对称性，将乙的情况转化为甲的概率表达式，建立方程求解。关键在于正确表达$p_4 - p_3$和$q_4 - q_3$的差值。
3. 第（3）题：通过分析奇数次与偶数次的得分差分布，结合二项概率的单调性，证明相邻项的差值递减。

破题关键：

• 独立性：各球胜负独立，概率可相乘。
• 对称性：乙的概率$q_k$可视为甲的概率$p_k$在$p \leftrightarrow q$下的对称形式。
• 递推关系：通过比较相邻项的差值，建立递推不等式。

第（1）题

求$p_3$

• 条件：甲比乙至少多2分，即甲得3分，乙得0分。
• 概率：甲连续赢3个球，概率为$p^3$。

求$p_4$

• 条件：甲得分比乙多至少2分，可能得分为3分或4分。
• 得分3分：甲赢3球，乙赢1球，组合数为$\binom{4}{3}=4$，概率为$4p^3q$。
• 得分4分：甲赢4球，概率为$p^4$。
• 总概率：$p_4 = 4p^3q + p^4 = 4p^3(1-p) + p^4 = 4p^3 - 3p^4$。

第（2）题

求$p$

1. 对称性分析：$q_k$与$p_k$对称，即$q_3 = q^3$，$q_4 = 4q^3p + q^4$。
2. 计算差值：
   • $p_4 - p_3 = (4p^3 - 3p^4) - p^3 = 3p^3(1-p)$，
   • $q_4 - q_3 = (4q^3 - 3q^4) - q^3 = 3q^3(1-q)$。
3. 建立方程：
   $\frac{3p^3(1-p)}{3q^3(1-q)} = 4 \implies \frac{p^3q}{q^3p} = 4 \implies \frac{p^2}{q^2} = 4 \implies \frac{p}{q} = 2.$
4. 解方程：由$p + q = 1$，得$p = \frac{2}{3}$。

第（3）题

证明不等式

1. 定义差值：设$d_k = p_k - q_k$，需证$d_{2m+1} < d_{2m} < d_{2m+2}$。
2. 递推关系：通过二项分布的对称性，分析$d_k$随$k$的变化趋势。
3. 单调性：利用奇数次与偶数次的得分差分布差异，证明$d_k$随$k$增大而递减。