40.(单选题)当x→0时，x与下列无穷小量等价的是( )A. e^xB. arcsin xC. e^x-1D. ln(1-x)

本题考查等价无穷小的概念及常见等价无穷小的应用。解题思路是根据等价无穷小的定义，判断当$x\to0$时，各选项与$x$的比值的极限是否为$1$，若极限为$1$，则它们是等价无穷小。

选项A

判断$e^{x}$与$x$是否为等价无穷小，需计算$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{x}}{x}$。
当$x\to0^{+}$时，$e^{x}\to1$，$x\to0^{+}$，此时$\frac{e^{x}}{x}\to+\infty$；
当$x\to0^{-}$时，$e^{x}\to1$，$x\to0^{-}$，此时$\frac{e^{x}}{x}\to-\infty$。
左右极限不相等，极限不存在，所以$e^{x}$与$x$不是等价无穷小。

选项B

判断$\arcsin x$与$x$是否为等价无穷小，需计算$\lim\limits_{x\to0}\frac{\arcsin x}{x}$。
令$t = \arcsin x$，则$x = \sin t$，当$x\to0$时，$t\to0$。
所以$\lim\limits_{x\to0}\frac{\arcsin x}{x}=\lim\limits_{t\to0}\frac{t}{\sin t}$，根据重要极限$\lim\limits_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1$，可得$\lim\limits_{t\to0}\frac{t}{\sin t}=1$，即$\arcsin x$与$x$是等价无穷小。

选项C

判断$e^{x}-1$与$x$是否为等价无穷小，需计算$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{x}-1}{x}$。
根据洛必达法则，当$\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$为$\frac{0}{0}$型或$\frac{\infty}{\infty}$型时，$\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$。
对于$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{x}-1}{x}$，当$x\to0$时，分子$e^{x}-1\to0$，分母$x\to0$，属于$\frac{0}{0}$型，对分子分母分别求导：
$(e^{x}-1)^\prime=e^{x}$，$x^\prime = 1$。
则$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{x}-1}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{x}}{1}=e^{0}=1$，所以$e^{x}-1$与$x$是等价无穷小。

选项D

判断$\ln(1 - x)$与$x$是否为等价无穷小，需计算$\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1 - x)}{x}$。
根据洛必达法则，当$x\to0$时，分子$\ln(1 - x)\to0$，分母$x\to0$，属于$\frac{0}{0}$型，对分子分母分别求导：
$[\ln(1 - x)]^\prime=\frac{-1}{1 - x}$，$x^\prime = 1$。
则$\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1 - x)}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{-1}{1 - x}}{1}=\lim\limits_{x\to0}\frac{-1}{1 - x}=-1$，所以$\ln(1 - x)$与$x$不是等价无穷小。