题目
设随机变量X服从(1,6)上的均匀分布,求方程 ^2+Xt+1=0 有实根-|||-的概率.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定随机变量X的分布
随机变量X服从(1,6)上的均匀分布，其概率密度函数为
\[ f(x) = \begin{cases}
\dfrac{1}{5}, & 1 < x < 6 \\
0, & \text{其他}
\end{cases} \]
步骤 2：确定方程有实根的条件
方程 ${t}^{2}+Xt+1=0$ 有实根的充分必要条件是判别式大于等于0，即
\[ X^2 - 4 \geq 0 \]
解得
\[ X \leq -2 \quad \text{或} \quad X \geq 2 \]
由于X的取值范围是(1,6)，所以只需考虑
\[ X \geq 2 \]
步骤 3：计算概率
所求概率为
\[ P(X \geq 2) = \int_{2}^{6} \dfrac{1}{5} dx \]
计算积分
\[ P(X \geq 2) = \dfrac{1}{5} \int_{2}^{6} dx = \dfrac{1}{5} [x]_{2}^{6} = \dfrac{1}{5} (6 - 2) = \dfrac{4}{5} \]
随机变量X服从(1,6)上的均匀分布，其概率密度函数为
\[ f(x) = \begin{cases}
\dfrac{1}{5}, & 1 < x < 6 \\
0, & \text{其他}
\end{cases} \]
步骤 2：确定方程有实根的条件
方程 ${t}^{2}+Xt+1=0$ 有实根的充分必要条件是判别式大于等于0，即
\[ X^2 - 4 \geq 0 \]
解得
\[ X \leq -2 \quad \text{或} \quad X \geq 2 \]
由于X的取值范围是(1,6)，所以只需考虑
\[ X \geq 2 \]
步骤 3：计算概率
所求概率为
\[ P(X \geq 2) = \int_{2}^{6} \dfrac{1}{5} dx \]
计算积分
\[ P(X \geq 2) = \dfrac{1}{5} \int_{2}^{6} dx = \dfrac{1}{5} [x]_{2}^{6} = \dfrac{1}{5} (6 - 2) = \dfrac{4}{5} \]