题目

27. (4.0分) 设二次型f(x_(1),x_(2))=tx_(1)^2+x_(2)^2-4tx_(1)x_(2)正定，则实数t的取值范围是____. （答案若出现分数用/表示该分数；用？

27. (4.0分) 设二次型$f(x_{1},x_{2})=tx_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4tx_{1}x_{2}$正定，则实数t的取值范围是____. （答案若出现分数用/表示该分数；用？

题目解答

答案

二次型 $ f(x_1, x_2) = tx_1^2 + x_2^2 - 4tx_1x_2 $ 对应的矩阵为： \[ A = \begin{pmatrix} t & -2t \\ -2t & 1 \end{pmatrix}. \] 正定条件为所有顺序主子式为正： 1. 第一主子式 $ t > 0 $； 2. 行列式 $ \det(A) = t - 4t^2 > 0 $，解得 $ 0 < t < \frac{1}{4} $。 结合条件得： \[ \boxed{\left(0, \frac{1}{4}\right)}. \]

解析

本题考查二次型正定的判定，解题思路是先写出二次型对应的矩阵，再根据二次型正定的充要条件，即矩阵的各阶顺序主子式都大于零来确定实数$t$的取值范围。

  1. 写出二次型对应的矩阵：
    对于二次型$f(x_{1},x_{2})=tx_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4tx_{1}x_{2}$，其对应的矩阵$A$为$\begin{pmatrix}t& -2t\\ -2t& 1\end{pmatrix}$。这里是根据二次型矩阵的定义，二次型中平方项的系数构成矩阵的主对角线元素，交叉项系数的一半构成矩阵的非主对角线元素。
  2. 根据正定条件确定$t$的范围：
    • 一阶顺序主子式：
      矩阵$A$的一阶顺序主子式为$\Delta_1=t$，因为二次型正定要求一阶顺序主子式大于$0$，所以$t>0$。
    • 二阶顺序主子式：
      矩阵$A$的二阶顺序主子式为$\Delta_2=\begin{vmatrix}t& -2t\\ -2t& 1\end{vmatrix}$，根据二阶行列式的计算公式$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc$，可得$\Delta_2=t\times1-(-2t)\times(-2t)=t - 4t^{2}$。
      由于二次型正定要求二阶顺序主子式也大于$0$，即$t - 4t^{2}>0$，提取公因式$t$得到$t(1 - 4t)>0$，令$t(1 - 4t)=0$，则$t = 0$或$1 - 4t = 0$，解得$t = 0$或$t=\frac{1}{4}$。
      根据二次函数$y=t(1 - 4t)=-4t^{2}+t$的图像性质（二次项系数$-4<0$，图像开口向下），不等式$t(1 - 4t)>0$的解集为$0<t<\frac{1}{4}$。
  3. 综合两个条件确定最终$t$的范围：
    要使二次型正定，$t$既要满足$t>0$，又要满足$0<t<\frac{1}{4}$，所以取交集可得$0<t<\frac{1}{4}$，即$t$的取值范围是$(0,\frac{1}{4})$。