43.袋中有1个红色球，2个黑色球与三个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以X，Y，Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。（1）求P(X=1|Z=0)；（3分）（2）求二维随机变量（X，Y）的概率分布。（4分）

考查要点：本题主要考查条件概率的计算以及二维离散型随机变量的概率分布求解。

解题思路：

1. 第（1）问：利用条件概率公式，明确事件$Z=0$的含义（两次取球均为红球或黑球），通过缩小样本空间计算概率。
2. 第（2）问：列出所有可能的$(X,Y)$组合，结合有放回抽样独立性，计算每种组合的概率，注意排除不可能的情况（如$X+Y>2$）。

关键点：

• 条件概率公式：$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$。
• 独立事件概率乘法：有放回抽样中，两次取球相互独立。
• 枚举法：系统列出所有可能的$(X,Y)$组合并计算概率。

第（1）题

事件分析：

• $Z=0$表示两次取球均为红球或黑球，总共有$1+2=3$个非白球，每次取到非白球的概率为$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$。
• $X=1$且$Z=0$表示两次取球中恰好1次红球、1次黑球，共有两种顺序：红→黑或黑→红。

计算过程：

1. 分母：$P(Z=0) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$。
2. 分子：$P(X=1 \cap Z=0) = 2 \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{2}{6}\right) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$。
3. 结果：$P(X=1|Z=0) = \frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{4}} = \frac{4}{9}$。

第（2）题

可能取值：$X,Y \in \{0,1,2\}$，但需满足$X+Y \leq 2$。

概率计算：

1. $(X=0,Y=0)$：两次均取白球，概率为$\left(\frac{3}{6}\right)^2 = \frac{1}{4}$。
2. $(X=0,Y=1)$：一次黑球、一次白球，概率为$2 \cdot \left(\frac{2}{6} \cdot \frac{3}{6}\right) = \frac{1}{3}$。
3. $(X=0,Y=2)$：两次均取黑球，概率为$\left(\frac{2}{6}\right)^2 = \frac{1}{9}$。
4. $(X=1,Y=0)$：一次红球、一次白球，概率为$2 \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{6}\right) = \frac{1}{6}$。
5. $(X=1,Y=1)$：一次红球、一次黑球，概率为$2 \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{2}{6}\right) = \frac{1}{9}$。
6. $(X=2,Y=0)$：两次均取红球，概率为$\left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{36}$。
7. 其余组合（如$X+Y>2$）概率为$0$。