题目

(8)[(-1)^n+1](n+1)/(n)。

(8)$\left\{\left[(-1)^{n}+1\right]\frac{n+1}{n}\right\}$。

题目解答

答案

当 $n$ 为奇数时，$(-1)^n = -1$，通项变为 \[ a_n = [(-1) + 1] \frac{n+1}{n} = 0. \] 当 $n$ 为偶数时，$(-1)^n = 1$，通项变为 \[ a_n = [1 + 1] \frac{n+1}{n} = 2 \left(1 + \frac{1}{n}\right) \to 2 \quad (n \to \infty). \] 由于奇数项子数列极限为 0，偶数项子数列极限为 2，极限值不唯一，原数列发散。 \[ \boxed{\text{发散}} \]

解析

考查要点：本题主要考查数列的收敛性判断，特别是通过分析奇偶子数列的极限是否存在且相等来判断原数列的收敛性。

解题核心思路：

  1. 分奇偶讨论：由于通项中包含$(-1)^n$，需分别考虑$n$为奇数和偶数时的通项表达式。
  2. 求子数列极限：分别计算奇数项子数列和偶数项子数列的极限。
  3. 判断极限唯一性：若两个子数列的极限不同，则原数列发散。

破题关键点：

  • 奇偶项的分离：明确奇偶项对应的通项形式。
  • 极限计算：对偶数项子数列，需化简并求极限。
  • 结论推导：通过子数列极限的矛盾性得出原数列发散。

分奇偶讨论通项形式

  1. 当$n$为奇数时：
    $(-1)^n = -1$，代入通项得：
    $a_n = [(-1) + 1] \cdot \frac{n+1}{n} = 0 \cdot \frac{n+1}{n} = 0.$
    因此，奇数项子数列恒为0，极限为$0$。

  2. 当$n$为偶数时：
    $(-1)^n = 1$，代入通项得：
    $a_n = [1 + 1] \cdot \frac{n+1}{n} = 2 \cdot \left(1 + \frac{1}{n}\right).$
    当$n \to \infty$时，$\frac{1}{n} \to 0$，故偶数项子数列的极限为$2 \cdot 1 = 2$。

判断数列收敛性

  • 奇数项子数列极限为$0$，偶数项子数列极限为$2$，两者不相等。
  • 极限值不唯一，因此原数列发散。