6、求函数 (x)=dfrac (x)({x)^2+1} 的单调区间和极值.

考查要点：本题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，涉及分式函数的求导、导数的符号分析以及极值的判定。

解题核心思路：

1. 求导：使用商的求导法则求出函数$f(x)$的导数$f'(x)$。
2. 求临界点：解方程$f'(x)=0$，找到可能的极值点。
3. 分析导数符号：通过数轴分段讨论导数的正负，确定函数的单调区间。
4. 判断极值：根据导数在临界点附近的符号变化，确定极大值或极小值。

破题关键点：

• 正确求导：注意分母平方的处理和分子化简。
• 临界点分析：明确$x=1$和$x=-1$是分界点。
• 符号变化判断：通过测试点确定导数在各区间的符号，进而得出单调性和极值。

步骤1：求导数
函数$f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$，根据商的求导法则：
$f'(x) = \frac{(x)'(x^2+1) - x(x^2+1)'}{(x^2+1)^2} = \frac{1 \cdot (x^2+1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}.$

步骤2：求临界点
令$f'(x)=0$，即$\frac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}=0$，解得分子为零：
$1 - x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1.$

步骤3：分析导数符号
将数轴分为三个区间，取测试点分析：

• 区间$(-\infty, -1)$：取$x=-2$，$f'(-2)=\frac{1 - (-2)^2}{((-2)^2+1)^2} = \frac{-3}{25} < 0$，函数单调递减。
• 区间$(-1, 1)$：取$x=0$，$f'(0)=\frac{1 - 0}{(0+1)^2} = 1 > 0$，函数单调递增。
• 区间$(1, +\infty)$：取$x=2$，$f'(2)=\frac{1 - 2^2}{(2^2+1)^2} = \frac{-3}{25} < 0$，函数单调递减。

步骤4：判断极值

• $x=-1$：导数由负变正，此处为极小值点，$f(-1) = \dfrac{-1}{(-1)^2+1} = -\dfrac{1}{2}$。
• $x=1$：导数由正变负，此处为极大值点，$f(1) = \dfrac{1}{1^2+1} = \dfrac{1}{2}$。